Để chứng minh bất đẳng thức \(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 > a^4 + b^4 + c^4\) với \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm \(x\) và \(y\) là:
\[ \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \]
hay tương đương với:
\[ x + y \geq 2\sqrt{xy} \]

Áp dụng bất đẳng thức này cho các cặp số \(a^2b^2\), \(b^2c^2\), và \(c^2a^2\), ta có:
\[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2 \cdot b^2c^2 \cdot c^2a^2} = 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2 \cdot a^2b^2c^2} = 3\sqrt[3]{(abc)^4} = 3(abc)^{4/3} \]

Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức \(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 > a^4 + b^4 + c^4\), ta cần một cách tiếp cận khác.

Xét bất đẳng thức:
\[ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 > 0 \]

Ta có thể viết lại bất đẳng thức này dưới dạng:
\[ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) > a^4 + b^4 + c^4 \]

Xét \(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2\). Theo bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm \(a^2b^2\), \(b^2c^2\), và \(c^2a^2\), ta có:
\[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2 \cdot b^2c^2 \cdot c^2a^2} = 3\sqrt[3]{(abc)^4} = 3(abc)^{4/3} \]

Tuy nhiên, điều này không trực tiếp giúp ta chứng minh bất đẳng thức ban đầu. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác.

Xét \(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2\) và \(a^4 + b^4 + c^4\). Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Muirhead cho các dãy đối xứng.

Bất đẳng thức Muirhead cho các dãy đối xứng \( (2,2,0) \) và \( (4,0,0) \) là:
\[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq \frac{1}{3}(a^4 + b^4 + c^4) \]

Do đó:
\[ 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \geq \frac{2}{3}(a^4 + b^4 + c^4) \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{2}{3}(a^4 + b^4 + c^4) > a^4 + b^4 + c^4 \]

Điều này tương đương với:
\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) > 3(a^4 + b^4 + c^4) \]

Điều này là hiển nhiên sai, do đó ta cần một cách tiếp cận khác.

Thay vào đó, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Nesbitt:
\[ \frac{a^2}{b^2 + c^2} + \frac{b^2}{a^2 + c^2} + \frac{c^2}{a^2 + b^2} \geq \frac{3}{2} \]

Tuy nhiên, điều này cũng không trực tiếp giúp ta chứng minh bất đẳng thức ban đầu.

Cuối cùng, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Schur cho \(r = 2\):
\[ a^4 + b^4 + c^4 + abc(a + b + c) \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \]

Do đó:
\[ a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - abc(a + b + c) \]

Tuy nhiên, điều này cũng không trực tiếp giúp ta chứng minh bất đẳng thức ban đầu.

Vì vậy, ta cần một cách tiếp cận khác hoặc sử dụng một bất đẳng thức mạnh hơn để chứng minh bất đẳng thức ban đầu.