Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm của tam giác.

**1. Chứng minh GB = GE và GC = GE:**

Trước hết, ta biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC, nên G chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến, và đoạn nối từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài của đường trung tuyến.

- Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB.
- Ta có: \( BP \) và \( CQ \) là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại G.

Theo giả thiết, trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Vì G là trọng tâm, nên \( PG = \frac{2}{3}BP \). Do đó, \( PE = PG = \frac{2}{3}BP \).

- Tương tự, trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Vì G là trọng tâm, nên \( QG = \frac{2}{3}CQ \). Do đó, \( QF = QG = \frac{2}{3}CQ \).

Bây giờ, ta xét tam giác BPG và tam giác EPG:
- \( PG = PE \) (theo giả thiết).
- \( \angle BPG = \angle EPG \) (vì E nằm trên tia đối của PB).

Do đó, tam giác BPG và tam giác EPG là hai tam giác cân tại P. Suy ra \( GB = GE \).

Tương tự, xét tam giác CQG và tam giác FQG:
- \( QG = QF \) (theo giả thiết).
- \( \angle CQG = \angle FQG \) (vì F nằm trên tia đối của QG).

Do đó, tam giác CQG và tam giác FQG là hai tam giác cân tại Q. Suy ra \( GC = GF \).

Vậy, ta có \( GB = GE \) và \( GC = GF \).

**2. Chứng minh EF = BC và EF // BC:**

Để chứng minh EF = BC và EF // BC, ta cần chứng minh rằng EF là đường trung bình của tam giác BGC.

- Ta biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC, nên \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến, và đoạn nối từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài của đường trung tuyến.

- Do đó, \( G \) là trung điểm của \( EF \) vì \( PE = PG \) và \( QF = QG \).

- Vì \( G \) là trung điểm của \( EF \) và \( G \) cũng là trung điểm của \( BC \) (do tính chất của trọng tâm), nên \( EF \) là đường trung bình của tam giác BGC.

Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có:
- \( EF // BC \).
- \( EF = \frac{1}{2}BC \).

Tuy nhiên, vì \( G \) là trọng tâm của tam giác ABC, nên \( EF \) không chỉ là đường trung bình của tam giác BGC mà còn là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, \( EF = BC \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( EF = BC \) và \( EF // BC \).