Để chứng minh rằng các đường thẳng \( ME \), \( NF \), và \( AC \) đồng quy, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và các phép biến đổi hình học.

Trước hết, ta có \( BD \) là trung trực của \( AC \), điều này có nghĩa là \( BD \) vuông góc với \( AC \) và chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau tại điểm \( O \) (trung điểm của \( AC \)).

Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( AB \). Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AD \), do đó \( AM = MD \).
- \( N \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AN = NB \).

Vẽ \( ME \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \) và \( NF \) vuông góc với \( CD \) tại \( F \).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( ME \), \( NF \), và \( AC \) đồng quy tại một điểm.

1. **Chứng minh rằng \( ME \) và \( NF \) cắt nhau tại \( O \):**

- \( ME \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \), do đó \( ME \) là đường cao của tam giác \( BMC \).
- \( NF \) vuông góc với \( CD \) tại \( F \), do đó \( NF \) là đường cao của tam giác \( DNC \).

Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( AB \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABD \), do đó \( MN \parallel BD \).

Hơn nữa, \( BD \) là trung trực của \( AC \), nên \( BD \) đi qua trung điểm \( O \) của \( AC \).

Do đó, \( MN \) cũng đi qua \( O \) (vì \( MN \parallel BD \) và \( BD \) đi qua \( O \)).

2. **Chứng minh rằng \( ME \) và \( NF \) đồng quy với \( AC \) tại \( O \):**

- \( ME \) và \( NF \) đều đi qua \( O \) vì \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( MN \) đi qua \( O \).
- \( AC \) cũng đi qua \( O \) vì \( O \) là trung điểm của \( AC \).

Vậy, \( ME \), \( NF \), và \( AC \) đồng quy tại điểm \( O \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng \( ME \), \( NF \), và \( AC \) đồng quy.