Cho tam giác \( \Delta ABC \), M là điểm bất kỳ trên BC. Các đường thẳng qua B và C song song với AM cắt các tia CA và BA lần lượt tại N và P.

### a) Chứng minh \( \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{1}{AM} \)

Ta có \( BN \parallel AM \) và \( CP \parallel AM \), do đó các tam giác \( \Delta BNM \) và \( \Delta CPM \) đồng dạng với tam giác \( \Delta AMN \).

Sử dụng tính chất đồng dạng, ta có:
\[ \frac{BN}{AM} = \frac{BM}{MN} \]
\[ \frac{CP}{AM} = \frac{CM}{MP} \]

Do đó:
\[ \frac{1}{BN} = \frac{MN}{BM \cdot AM} \]
\[ \frac{1}{CP} = \frac{MP}{CM \cdot AM} \]

Cộng hai phương trình trên lại:
\[ \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{MN}{BM \cdot AM} + \frac{MP}{CM \cdot AM} \]

Vì \( BM + CM = BC \) và \( MN + MP = AM \), ta có:
\[ \frac{MN}{BM \cdot AM} + \frac{MP}{CM \cdot AM} = \frac{MN + MP}{BM \cdot CM \cdot AM} = \frac{AM}{BM \cdot CM \cdot AM} = \frac{1}{AM} \]

Vậy ta chứng minh được:
\[ \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{1}{AM} \]

### b) Gọi E là trung điểm của BN, EA cắt CP tại F. Chứng minh FC = FP.

Vì E là trung điểm của BN, nên \( BE = EN \).

Xét tam giác \( \Delta BCP \) có \( BE \parallel CP \) và \( E \) là trung điểm của \( BN \), do đó \( F \) là trung điểm của \( CP \).

Vậy \( FC = FP \).

### c) BF cắt AM tại I, chứng minh IA = IM.

Xét tam giác \( \Delta BCP \) có \( BE \parallel CP \) và \( E \) là trung điểm của \( BN \), do đó \( F \) là trung điểm của \( CP \).

Vì \( F \) là trung điểm của \( CP \), \( BF \) cắt \( AM \) tại \( I \).

Do đó, \( I \) là trung điểm của \( AM \).

Vậy \( IA = IM \).

### d) Chứng minh ba điểm C, I, E thẳng hàng.

Ta đã chứng minh \( I \) là trung điểm của \( AM \) và \( E \) là trung điểm của \( BN \).

Do đó, đường thẳng \( CE \) đi qua \( I \).

Vậy ba điểm \( C, I, E \) thẳng hàng.