Để tính diện tích tam giác ABC, ta cần biết độ dài của các cạnh hoặc chiều cao và đáy của tam giác. Trong bài này, chúng ta có góc B = 60 độ, góc C = 45 độ và cạnh AB = 2√3 cm. Đầu tiên, ta sẽ tính góc A bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác:

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng định lý Sin để tính các cạnh còn lại của tam giác. Định lý Sin cho biết:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Trong đó:
- \( a \) là cạnh BC
- \( b \) là cạnh AC
- \( c \) là cạnh AB = 2√3 cm

Ta có:

\[ \frac{c}{\sin C} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \]

Do đó:

\[ \frac{a}{\sin A} = 2\sqrt{6} \]

\[ a = 2\sqrt{6} \sin 75^\circ \]

\[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]

\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Do đó:

\[ a = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{2 \cdot 6 + 2\sqrt{12}}{4} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{4} = 3 + \sqrt{3} \]

Tương tự, ta có:

\[ \frac{b}{\sin B} = 2\sqrt{6} \]

\[ b = 2\sqrt{6} \sin 60^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Bây giờ ta có thể tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron hoặc bằng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5 \]

Vậy diện tích tam giác ABC là 4.5 cm².