Để tính nhanh tổng của dãy số \( \frac{1}{100} + \frac{13}{100} + \frac{25}{100} + \frac{37}{100} + \frac{49}{100} + \ldots + \frac{85}{100} + \frac{97}{100} \), ta có thể làm như sau:

1. Đầu tiên, nhận thấy rằng các số trong tử số của các phân số này tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là 1 và công sai là 12.

2. Công thức tổng quát của một cấp số cộng là:
\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]
Trong đó:
- \( a_1 \) là số hạng đầu tiên (ở đây là 1)
- \( d \) là công sai (ở đây là 12)
- \( n \) là số thứ tự của số hạng

3. Để tìm số hạng cuối cùng \( a_n = 97 \):
\[
97 = 1 + (n-1) \cdot 12
\]
\[
97 = 1 + 12n - 12
\]
\[
97 = 12n - 11
\]
\[
108 = 12n
\]
\[
n = 9
\]
Vậy có 9 số hạng trong dãy.

4. Tổng của một cấp số cộng được tính bằng công thức:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
Trong đó:
- \( n \) là số lượng số hạng (ở đây là 9)
- \( a_1 \) là số hạng đầu tiên (ở đây là 1)
- \( a_n \) là số hạng cuối cùng (ở đây là 97)

Vậy tổng của các số hạng trong tử số là:
\[
S_9 = \frac{9}{2} \cdot (1 + 97) = \frac{9}{2} \cdot 98 = 9 \cdot 49 = 441
\]

5. Tổng của các phân số là:
\[
\frac{441}{100} = 4.41
\]

Vậy tổng của dãy số đã cho là \( 4.41 \).