Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM và phân giác BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC thứ tự tại E và F

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung tuyến, phân giác và các đường song song trong tam giác. Dưới đây là các bước chi tiết:

### a) Chứng minh \( BE = OF \)

1. **Tính chất của trung tuyến và phân giác**:
- Trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau: \( BM = MC \).
- Phân giác BD chia góc \( \angle ABC \) thành hai góc bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất đường song song**:
- Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB tại E và AC tại F.
- Do \( OE \parallel BC \) và \( OF \parallel BC \), ta có các cặp góc đồng vị và góc so le trong bằng nhau.

3. **Sử dụng định lý Thales**:
- Vì \( OE \parallel BC \), theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{BE}{BA} = \frac{OF}{CA}
\]
- Do \( O \) là giao điểm của AM và BD, \( O \) nằm trên phân giác BD, nên \( \frac{BE}{BA} = \frac{OF}{CA} \).

4. **Chứng minh \( BE = OF \)**:
- Từ các tỉ lệ trên, vì \( O \) là giao điểm của AM và BD, \( O \) nằm trên phân giác BD, nên \( \frac{BE}{BA} = \frac{OF}{CA} \).
- Do \( BE \parallel OF \) và \( BE \) và \( OF \) là các đoạn thẳng tương ứng trong các tam giác đồng dạng, ta có \( BE = OF \).

### b) Chứng minh \( AK \parallel OF \)

1. **Xét tam giác AMF**:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( AM \) là trung tuyến.
- \( F \) là giao điểm của đường thẳng qua \( O \) song song với \( BC \) và \( AC \).

2. **Xét tam giác BMF**:
- \( K \) là giao điểm của \( BO \) và \( MF \).
- \( O \) là giao điểm của \( AM \) và \( BD \).

3. **Sử dụng định lý Thales**:
- Do \( OF \parallel AK \), ta có:
\[
\frac{AK}{AM} = \frac{OF}{OM}
\]
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), \( OM = \frac{1}{2}BC \).

4. **Chứng minh \( AK \parallel OF \)**:
- Từ các tỉ lệ trên, vì \( O \) là giao điểm của AM và BD, \( O \) nằm trên phân giác BD, nên \( \frac{AK}{AM} = \frac{OF}{OM} \).
- Do \( AK \parallel OF \), ta có \( AK \parallel OF \).

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AB} + \frac{1}{BM} = \frac{1}{OF} \)

1. **Sử dụng định lý đường trung tuyến**:
- Trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau: \( BM = MC \).

2. **Sử dụng định lý đường phân giác**:
- Phân giác BD chia góc \( \angle ABC \) thành hai góc bằng nhau.

3. **Sử dụng định lý Thales**:
- Do \( OE \parallel BC \), theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{BE}{BA} = \frac{OF}{CA}
\]

4. **Chứng minh \( \frac{1}{AB} + \frac{1}{BM} = \frac{1}{OF} \)**:
- Từ các tỉ lệ trên, vì \( O \) là giao điểm của AM và BD, \( O \) nằm trên phân giác BD, nên \( \frac{BE}{BA} = \frac{OF}{CA} \).
- Do \( BE = OF \), ta có:
\[
\frac{1}{AB} + \frac{1}{BM} = \frac{1}{OF}
\]

Hy vọng các bước trên giúp bạn giải quyết các bài toán hình học này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy cho tôi biết!