Để hai đường thẳng \( (d_1): 5x - 2y = 3 \) và \( (d_2): x + y = m \) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy, tọa độ của điểm đó phải có dạng \( (0, y) \).

1. **Tìm giao điểm của hai đường thẳng trên trục Oy:**

Trên trục Oy, \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào phương trình của hai đường thẳng:

- Đường thẳng \( (d_1): 5x - 2y = 3 \)
\[
5(0) - 2y = 3 \implies -2y = 3 \implies y = -\frac{3}{2}
\]

- Đường thẳng \( (d_2): x + y = m \)
\[
0 + y = m \implies y = m
\]

Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục Oy, giá trị \( y \) phải bằng nhau. Do đó:
\[
m = -\frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị của \( m \) là \( -\frac{3}{2} \).

2. **Vẽ hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ:**

- Đường thẳng \( (d_1): 5x - 2y = 3 \)

Để vẽ đường thẳng này, ta tìm hai điểm trên đường thẳng:
\[
\begin{cases}
\text{Khi } x = 0: & 5(0) - 2y = 3 \implies y = -\frac{3}{2} \\
\text{Khi } y = 0: & 5x - 2(0) = 3 \implies x = \frac{3}{5}
\end{cases}
\]
Vậy hai điểm là \( (0, -\frac{3}{2}) \) và \( (\frac{3}{5}, 0) \).

- Đường thẳng \( (d_2): x + y = -\frac{3}{2} \)

Để vẽ đường thẳng này, ta tìm hai điểm trên đường thẳng:
\[
\begin{cases}
\text{Khi } x = 0: & 0 + y = -\frac{3}{2} \implies y = -\frac{3}{2} \\
\text{Khi } y = 0: & x + 0 = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2}
\end{cases}
\]
Vậy hai điểm là \( (0, -\frac{3}{2}) \) và \( (-\frac{3}{2}, 0) \).

Bây giờ, ta vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

- Đường thẳng \( (d_1) \) đi qua các điểm \( (0, -\frac{3}{2}) \) và \( (\frac{3}{5}, 0) \).
- Đường thẳng \( (d_2) \) đi qua các điểm \( (0, -\frac{3}{2}) \) và \( (-\frac{3}{2}, 0) \).

Đường thẳng \( (d_1) \) và \( (d_2) \) sẽ cắt nhau tại điểm \( (0, -\frac{3}{2}) \) trên trục Oy.