Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn có I, K, H lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi T là điểm đối xứng của A qua I

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm, đối xứng, và trọng tâm của tam giác.

### Phần a: Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH

1. **Tính chất đối xứng qua trung điểm:**
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( T \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( I \), tức là \( I \) là trung điểm của \( AT \).

2. **Tính chất trung điểm:**
- Gọi \( K \) là trung điểm của \( CA \).
- Gọi \( H \) là trung điểm của \( AB \).

3. **Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH:**
- Trong tam giác \( TKH \), ta cần chứng minh \( I \) là trọng tâm, tức là \( I \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.
- Xét đường trung tuyến từ \( T \) đến \( KH \):
- \( I \) là trung điểm của \( AT \), nên \( TI = IA \).
- Xét đường trung tuyến từ \( K \) đến \( TH \):
- \( K \) là trung điểm của \( CA \), nên \( KI = IA \).
- Xét đường trung tuyến từ \( H \) đến \( TK \):
- \( H \) là trung điểm của \( AB \), nên \( HI = IA \).

Vì \( I \) là trung điểm của \( AT \), \( KI \), và \( HI \), nên \( I \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. Do đó, \( I \) là trọng tâm của tam giác \( TKH \).

### Phần b: Chứng minh \( EF = \frac{1}{4} BC \)

1. **Gọi \( E \) là giao điểm của \( HI \) và \( TK \):**
- \( HI \) là đường trung tuyến của tam giác \( AB \), và \( TK \) là đường trung tuyến của tam giác \( CA \).

2. **Gọi \( F \) là giao điểm của \( KI \) và \( TH \):**
- \( KI \) là đường trung tuyến của tam giác \( CA \), và \( TH \) là đường trung tuyến của tam giác \( AB \).

3. **Chứng minh \( EF = \frac{1}{4} BC \):**
- Do \( I \) là trọng tâm của tam giác \( TKH \), nên \( I \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.
- \( E \) và \( F \) là các điểm trên các đường trung tuyến này, nên chúng cũng chia các đoạn thẳng tương ứng thành các đoạn tỉ lệ 2:1.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BC \) được chia thành hai đoạn bằng nhau bởi \( I \).
- Do đó, \( EF \) là đoạn thẳng nối các điểm chia các đoạn thẳng này thành tỉ lệ 2:1, nên \( EF = \frac{1}{4} BC \).

### Phần c: Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CT \)

1. **Gọi \( M \) là giao điểm của \( BF \) và \( CT \):**
- \( BF \) là đường trung tuyến của tam giác \( AB \), và \( CT \) là đường trung tuyến của tam giác \( CA \).

2. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CT \):**
- Do \( I \) là trọng tâm của tam giác \( TKH \), nên \( I \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.
- \( M \) là giao điểm của các đường trung tuyến này, nên nó cũng chia các đoạn thẳng tương ứng thành các đoạn tỉ lệ 2:1.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BC \) được chia thành hai đoạn bằng nhau bởi \( I \).
- Do đó, \( M \) là trung điểm của \( CT \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.