Để chứng minh \(\angle AIK = \angle ABC\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các góc phụ nhau.

1. **Xét tam giác \(ABC\) với \(AH\) là đường cao:**
- \(AH \perp BC\) tại \(H\).

2. **Kẻ \(HI \perp AB\) tại \(I\):**
- \(HI \perp AB\) nên \(\angle HIA = 90^\circ\).

3. **Kẻ \(HK \perp AC\) tại \(K\):**
- \(HK \perp AC\) nên \(\angle HKA = 90^\circ\).

4. **Xét tứ giác \(AHIK\):**
- \(AH \perp BC\), \(HI \perp AB\), và \(HK \perp AC\).
- Do đó, \(AHIK\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

5. **Xét các góc trong tứ giác \(AHIK\):**
- \(\angle HIA = 90^\circ\) và \(\angle HKA = 90^\circ\).
- Vì \(AHIK\) là tứ giác nội tiếp, nên \(\angle AIK = \angle AHK\).

6. **Xét tam giác \(AHK\):**
- \(\angle AHK = \angle ABC\) (vì \(AH \perp BC\) và \(HK \perp AC\)).

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có \(\angle AIK = \angle AHK = \angle ABC\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\angle AIK = \angle ABC\).