Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{63} > 2 \) bằng phương pháp trội, chúng ta sẽ so sánh tổng này với một tổng khác mà chúng ta biết rõ giá trị của nó.

Phương pháp trội thường liên quan đến việc so sánh các số hạng của tổng với các số hạng của một tổng khác mà chúng ta biết rõ hơn. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ so sánh với một tổng của các số hạng nhỏ hơn.

Đầu tiên, chúng ta biết rằng tổng các nghịch đảo của các số nguyên từ 1 đến \( n \) được gọi là tổng hàm điều hòa và ký hiệu là \( H_n \). Tổng này có tính chất là \( H_n \approx \ln(n) + \gamma \) với \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni (khoảng 0.577).

Tuy nhiên, chúng ta cần so sánh tổng từ \( \frac{1}{2} \) đến \( \frac{1}{63} \). Chúng ta có thể viết lại tổng này như sau:
\[ \sum_{k=2}^{63} \frac{1}{k} \]

Chúng ta biết rằng:
\[ H_{63} = \sum_{k=1}^{63} \frac{1}{k} \]
và
\[ H_{1} = 1 \]

Do đó:
\[ \sum_{k=2}^{63} \frac{1}{k} = H_{63} - H_{1} = H_{63} - 1 \]

Bây giờ, chúng ta cần ước lượng \( H_{63} \). Sử dụng xấp xỉ \( H_n \approx \ln(n) + \gamma \), ta có:
\[ H_{63} \approx \ln(63) + \gamma \]

Với \( \ln(63) \approx 4.143 \) và \( \gamma \approx 0.577 \), ta có:
\[ H_{63} \approx 4.143 + 0.577 = 4.72 \]

Do đó:
\[ \sum_{k=2}^{63} \frac{1}{k} \approx 4.72 - 1 = 3.72 \]

Vì vậy, chúng ta thấy rằng:
\[ \sum_{k=2}^{63} \frac{1}{k} \approx 3.72 > 2 \]

Điều này chứng minh rằng:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{63} > 2 \]

Vậy, bằng phương pháp trội và sử dụng xấp xỉ hàm điều hòa, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{63} > 2 \).