Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý và công thức trong tam giác vuông.

1. **Tính BC:**
Tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), nên theo định lý Pythagoras:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Trước hết, ta cần tính \( AC \).

2. **Tính AC:**
Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]
Trong đó, \( BH \) là đoạn thẳng từ \( B \) đến \( H \) trên cạnh \( BC \).

Ta có:
\[
BH = AB^2 / BC
\]
và
\[
HC = 16 \text{ cm}
\]

Để tính \( BH \), ta cần biết \( BC \). Tuy nhiên, ta chưa biết \( BC \), nên ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tính \( AC \).

3. **Tính AH:**
Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Để tính \( AH \), ta cần biết \( AC \). Ta sẽ tính \( AC \) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \Delta AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Ta có:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Đặt \( AC = x \), ta có:
\[
AH = \sqrt{15 \cdot x}
\]

Thay vào công thức \( AC^2 = AH^2 + HC^2 \):
\[
x^2 = (\sqrt{15 \cdot x})^2 + 16^2
\]
\[
x^2 = 15x + 256
\]
\[
x^2 - 15x - 256 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 + 4 \cdot 256}}{2}
\]
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1024}}{2}
\]
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{1249}}{2}
\]

\[
x = \frac{15 \pm 35.33}{2}
\]

Chọn giá trị dương:
\[
x = \frac{50.33}{2} \approx 25.165 \text{ cm}
\]

Vậy \( AC \approx 25.165 \text{ cm} \).

4. **Tính BC:**
Sử dụng định lý Pythagoras:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 15^2 + 25.165^2
\]
\[
BC^2 = 225 + 633.27
\]
\[
BC^2 = 858.27
\]
\[
BC \approx \sqrt{858.27} \approx 29.3 \text{ cm}
\]

5. **Tính AH:**
Sử dụng công thức:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]
\[
AH = \sqrt{15 \cdot 25.165} \approx \sqrt{377.475} \approx 19.43 \text{ cm}
\]

Vậy, các kết quả là:
- \( BC \approx 29.3 \text{ cm} \)
- \( AC \approx 25.165 \text{ cm} \)
- \( AH \approx 19.43 \text{ cm} \)