Để chứng minh các tính chất của tam giác cân \(ABC\) tại \(A\) với các trung tuyến \(AH\), \(BM\), \(CN\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh \(MB = NC\):**

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\).

Trung tuyến \(BM\) và \(CN\) chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau:
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AM = MC\).
- \(N\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AN = NB\).

Do đó, trong tam giác cân \(ABC\):
- \(BM\) và \(CN\) là các trung tuyến từ các đỉnh \(B\) và \(C\) đến các cạnh đối diện.
- Vì \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\), \(N\) là trung điểm của \(AB\), nên \(BM = CN\).

2. **Chứng minh \(AO\) vuông góc với \(BC\):**

Gọi \(O\) là giao điểm của ba trung tuyến \(AH\), \(BM\), \(CN\). \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Trong tam giác cân \(ABC\) tại \(A\):
- Trung tuyến \(AH\) cũng là đường cao, vì \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(AH\) vuông góc với \(BC\).

Do đó, \(AO\) là một phần của đường cao \(AH\) trong tam giác cân \(ABC\), nên \(AO\) vuông góc với \(BC\).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng:
- \(MB = NC\).
- \(AO\) vuông góc với \(BC\).