Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AD\).

a) Chứng minh \(BE = CD\)

- Vì \(AE = AD\) và \(AB = AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle ADC \quad (\text{c.g.c})
\]
- Do đó, \(BE = CD\) (theo tính chất của tam giác đồng dạng).

b) Chứng minh tam giác \(BEC =\) tam giác \(CDB\)

- Ta đã có \(BE = CD\) từ phần a.
- Xét hai tam giác \(BEC\) và \(CDB\):
\[
\begin{cases}
BE = CD \\
BC = CB \quad (\text{cạnh chung}) \\
\angle EBC = \angle DCB \quad (\text{góc đối đỉnh})
\end{cases}
\]
- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\triangle BEC \cong \triangle CDB
\]

c) Chứng minh \(BC \parallel DE\)

- Từ phần b, ta có:
\[
\triangle BEC \cong \triangle CDB
\]
- Do đó, \(\angle EBC = \angle DCB\).
- Vì \(BC\) là cạnh chung, và hai góc này là góc so le trong, ta có:
\[
BC \parallel DE
\]

d) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(BC\). Chứng minh \(AI\) vuông góc với \(ED\)

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(DE\).
- Vì \(BC \parallel DE\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(M\) là trung điểm của \(DE\), nên \(IM\) là đường trung bình của hình thang \(BCDE\).
- Do đó, \(IM \parallel BC\) và \(IM \parallel DE\).
- Vì \(A\) là đỉnh của tam giác cân \(ABC\), đường trung tuyến \(AI\) cũng là đường cao, do đó \(AI \perp BC\).
- Vì \(BC \parallel DE\), nên \(AI \perp DE\).

Vậy \(AI\) vuông góc với \(ED\).