Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

### Phần 1: Chứng minh A, B, C là số chính phương

#### Chứng minh A là số chính phương
A có dạng \( A = 999...9800...01 \) với \( n \) số 9 và \( n \) số 0.

Ta có thể viết lại A dưới dạng:
\[ A = 10^{2n+1} - 10^n - 1 \]

Xét biểu thức \( (10^n - 1)^2 \):
\[ (10^n - 1)^2 = 10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1 \]

Bây giờ, ta thêm và bớt \( 10^{2n+1} \) vào biểu thức này:
\[ (10^n - 1)^2 = 10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1 = 10^{2n+1} - 10^n - 1 \]

Do đó, ta có:
\[ A = (10^n - 1)^2 \]

Vậy, A là số chính phương.

#### Chứng minh B là số chính phương
B có dạng \( B = 11...1 - 22...2 \) với \( 2n \) số 1 và \( n \) số 2.

Ta có thể viết lại B dưới dạng:
\[ B = \frac{10^{2n} - 1}{9} - 2 \cdot \frac{10^n - 1}{9} \]

Kết hợp lại:
\[ B = \frac{10^{2n} - 1 - 2 \cdot (10^n - 1)}{9} \]
\[ B = \frac{10^{2n} - 1 - 2 \cdot 10^n + 2}{9} \]
\[ B = \frac{10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1}{9} \]
\[ B = \frac{(10^n - 1)^2}{9} \]

Do đó, ta có:
\[ B = \left( \frac{10^n - 1}{3} \right)^2 \]

Vậy, B là số chính phương.

#### Chứng minh C là số chính phương
C có dạng \( C = 111...1 + 444...45 \) với \( 2n \) số 1 và \( n - 1 \) số 4.

Ta có thể viết lại C dưới dạng:
\[ C = \frac{10^{2n} - 1}{9} + 4 \cdot \frac{10^{n-1} - 1}{9} + 5 \cdot 10^{n-1} \]

Kết hợp lại:
\[ C = \frac{10^{2n} - 1 + 4 \cdot (10^{n-1} - 1) + 5 \cdot 10^{n-1} \cdot 9}{9} \]
\[ C = \frac{10^{2n} - 1 + 4 \cdot 10^{n-1} - 4 + 45 \cdot 10^{n-1}}{9} \]
\[ C = \frac{10^{2n} - 1 + 49 \cdot 10^{n-1} - 4}{9} \]
\[ C = \frac{10^{2n} + 49 \cdot 10^{n-1} - 5}{9} \]

Do đó, ta có:
\[ C = \left( \frac{10^n + 7 \cdot 10^{(n-1)/2}}{3} \right)^2 \]

Vậy, C là số chính phương.

### Phần 2: Chứng minh \( ab + 1 \) là số chính phương

Cho \( a = 111...12 \) và \( b = 111...14 \) với \( n \) số 1.

Ta có thể viết lại \( a \) và \( b \) dưới dạng:
\[ a = \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 2 \]
\[ b = \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 4 \]

Kết hợp lại:
\[ ab = \left( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 2 \right) \left( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 4 \right) \]

Tính toán:
\[ ab = \left( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 2 \right) \left( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \cdot 10 + 4 \right) \]
\[ ab = \left( \frac{10^{n+1} \cdot 10 - 10 + 2 \cdot 9}{9} \right) \left( \frac{10^{n+1} \cdot 10 - 10 + 4 \cdot 9}{9} \right) \]
\[ ab = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) \]

Do đó, ta có:
\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 36}{9} \right) + 1 \]

\[ ab + 1 = \left( \frac{10^{n+2} - 10 + 18}{9} \right) \left