Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC) biết BH = 4 cm, CH = 1 cm. Ta cần tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
\[
BC = BH + CH = 4 + 1 = 5 \text{ cm}
\]

2. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:**
Trong tam giác vuông, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH và CH. Ta có các hệ thức lượng sau:
\[
AB^2 = BH \cdot BC
\]
\[
AC^2 = CH \cdot BC
\]

3. **Tính độ dài các cạnh AB và AC:**
\[
AB^2 = BH \cdot BC = 4 \cdot 5 = 20 \implies AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
\]
\[
AC^2 = CH \cdot BC = 1 \cdot 5 = 5 \implies AC = \sqrt{5} \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài đường cao AH:**
Ta có thể sử dụng công thức:
\[
AH^2 = AB \cdot AC - BH \cdot CH
\]
\[
AH^2 = (2\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) - 4 \cdot 1 = 10 - 4 = 6 \implies AH = \sqrt{6} \text{ cm}
\]

5. **Tính các góc của tam giác vuông ABC:**
- Góc A là góc vuông, nên \(\angle A = 90^\circ\).
- Góc B và góc C có thể tính bằng cách sử dụng các tỉ số lượng giác.

\[
\tan(\angle B) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \implies \angle B = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
\tan(\angle C) = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2 \implies \angle C = \arctan(2)
\]

Vậy các cạnh của tam giác vuông ABC là:
- \(AB = 2\sqrt{5} \text{ cm}\)
- \(AC = \sqrt{5} \text{ cm}\)
- \(BC = 5 \text{ cm}\)

Các góc của tam giác vuông ABC là:
- \(\angle A = 90^\circ\)
- \(\angle B = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\)
- \(\angle C = \arctan(2)\)