Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (\(\angle A > 90^\circ\)). Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\). Chứng minh:

a) \(BE = CF\)

b) Tam giác \(HEF\) cân

c) \(EF \parallel BC\)

d) \(AH\) vuông góc với \(EF\)

**Giải:**

**a) Chứng minh \(BE = CF\):**

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\).

Trong tam giác cân, các đường cao từ các đỉnh của góc cân xuống các cạnh bên là bằng nhau. Do đó, \(BE\) và \(CF\) là các đường cao từ \(B\) và \(C\) xuống \(AC\) và \(AB\) tương ứng, nên \(BE = CF\).

**b) Chứng minh tam giác \(HEF\) cân:**

Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

Xét tam giác \(HEF\):

- \(HE\) và \(HF\) là các đoạn thẳng từ trực tâm \(H\) đến các cạnh \(AC\) và \(AB\) tương ứng.
- Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên các đoạn thẳng từ trực tâm đến các cạnh bên của tam giác cân là bằng nhau.

Vậy \(HE = HF\), do đó tam giác \(HEF\) cân tại \(H\).

**c) Chứng minh \(EF \parallel BC\):**

Trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường cao \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại trực tâm \(H\).

Do \(BE\) và \(CF\) là các đường cao, nên \(E\) và \(F\) là các chân đường cao từ \(B\) và \(C\) xuống \(AC\) và \(AB\) tương ứng.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(E\) và \(F\) đối xứng nhau qua đường trung trực của \(BC\). Do đó, \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), và theo tính chất của đường trung bình, \(EF \parallel BC\).

**d) Chứng minh \(AH\) vuông góc với \(EF\):**

Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(AH\) là đường cao từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\).

Từ phần (c), ta đã chứng minh \(EF \parallel BC\).

Do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(AH \perp BC\). Vì \(EF \parallel BC\), nên \(AH \perp EF\).

Vậy \(AH\) vuông góc với \(EF\).

**Kết luận:**

a) \(BE = CF\)

b) Tam giác \(HEF\) cân

c) \(EF \parallel BC\)

d) \(AH\) vuông góc với \(EF\)