Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( A = \frac{x-5}{x} \) là một số nguyên, ta cần phân tích biểu thức này.

Biểu thức \( A \) có thể được viết lại như sau:
\[ A = \frac{x-5}{x} = \frac{x}{x} - \frac{5}{x} = 1 - \frac{5}{x} \]

Để \( A \) là một số nguyên, thì \( 1 - \frac{5}{x} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( \frac{5}{x} \) phải là một số nguyên.

Do đó, \( x \) phải là một ước của 5. Các ước của 5 là: \( \pm 1 \) và \( \pm 5 \).

Tuy nhiên, \( x \) không thể bằng 0 vì điều kiện \( x \neq 0 \).

Vậy các giá trị của \( x \) để \( A \) là một số nguyên là:
\[ x = \pm 1, \pm 5 \]

Kiểm tra lại các giá trị này:
- Với \( x = 1 \):
\[ A = \frac{1-5}{1} = -4 \] (là số nguyên)
- Với \( x = -1 \):
\[ A = \frac{-1-5}{-1} = 6 \] (là số nguyên)
- Với \( x = 5 \):
\[ A = \frac{5-5}{5} = 0 \] (là số nguyên)
- Với \( x = -5 \):
\[ A = \frac{-5-5}{-5} = 2 \] (là số nguyên)

Vậy các giá trị của \( x \) để \( A \) là số nguyên là:
\[ x = \pm 1, \pm 5 \]