Để chứng minh \( m + n^2 \) không phải là số chính phương, ta bắt đầu với các giả thiết đã cho:

- \( m \) là ước nguyên dương của \( 2n^2 \)
- \( n \) là số nguyên dương

Do \( m \) là ước của \( 2n^2 \), ta có thể viết \( m = k \cdot d \) với \( d \) là ước của \( 2n^2 \) và \( k \) là một số nguyên dương. Các ước của \( 2n^2 \) có thể là các số dạng \( d = 2^a \cdot b \) với \( a \in \{0, 1\} \) và \( b \) là ước của \( n^2 \).

Giả sử \( m + n^2 \) là một số chính phương, tức là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[ m + n^2 = k^2 \]

Do \( m \) là ước của \( 2n^2 \), ta có thể viết \( m = \frac{2n^2}{d} \) với \( d \) là một ước nguyên dương của \( 2n^2 \). Khi đó:
\[ m + n^2 = \frac{2n^2}{d} + n^2 = n^2 \left(1 + \frac{2}{d}\right) \]

Để \( m + n^2 \) là một số chính phương, \( n^2 \left(1 + \frac{2}{d}\right) \) phải là một số chính phương. Điều này có nghĩa là \( 1 + \frac{2}{d} \) phải là một số chính phương, vì \( n^2 \) là một số chính phương.

Xét các giá trị của \( d \):

1. Nếu \( d = 1 \):
\[ 1 + \frac{2}{1} = 3 \]
\( 3 \) không phải là số chính phương.

2. Nếu \( d = 2 \):
\[ 1 + \frac{2}{2} = 2 \]
\( 2 \) không phải là số chính phương.

3. Nếu \( d = n^2 \) (trường hợp \( d \) là một ước của \( n^2 \)):
\[ 1 + \frac{2}{n^2} \]
Để \( 1 + \frac{2}{n^2} \) là một số chính phương, \( \frac{2}{n^2} \) phải là một số nguyên, nhưng điều này chỉ xảy ra khi \( n^2 = 2 \), mà \( n \) là số nguyên dương nên không thể xảy ra.

4. Nếu \( d = 2n^2 \):
\[ 1 + \frac{2}{2n^2} = 1 + \frac{1}{n^2} \]
Để \( 1 + \frac{1}{n^2} \) là một số chính phương, \( \frac{1}{n^2} \) phải là một số nguyên, nhưng điều này chỉ xảy ra khi \( n^2 = 1 \), tức là \( n = 1 \). Khi đó:
\[ m = 2n^2 = 2 \]
\[ m + n^2 = 2 + 1 = 3 \]
\( 3 \) không phải là số chính phương.

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng không có giá trị nào của \( d \) mà \( 1 + \frac{2}{d} \) là một số chính phương. Do đó, \( m + n^2 \) không thể là một số chính phương.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( m + n^2 \) không phải là số chính phương.