Để chứng minh \( A = n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không phải là số chính phương với mọi số nguyên \( n \), ta sẽ phân tích biểu thức này và tìm cách chứng minh rằng nó không thể là một số chính phương.

Trước tiên, ta viết lại biểu thức \( A \) như sau:
\[ A = n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \]

Ta sẽ xem xét giá trị của \( A \) với một số giá trị cụ thể của \( n \) và phân tích tính chất của \( A \).

1. **Trường hợp \( n = 0 \):**
\[ A = 0^6 - 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 = 0 \]
0 là số chính phương.

2. **Trường hợp \( n = 1 \):**
\[ A = 1^6 - 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 = 1 - 1 + 2 + 2 = 4 \]
4 là số chính phương.

3. **Trường hợp \( n = -1 \):**
\[ A = (-1)^6 - (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 = 1 - 1 - 2 + 2 = 0 \]
0 là số chính phương.

4. **Trường hợp \( n = 2 \):**
\[ A = 2^6 - 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 = 64 - 16 + 16 + 8 = 72 \]
72 không phải là số chính phương.

5. **Trường hợp \( n = -2 \):**
\[ A = (-2)^6 - (-2)^4 + 2 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 = 64 - 16 - 16 + 8 = 40 \]
40 không phải là số chính phương.

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng với \( n = 0, 1, -1 \), \( A \) là số chính phương, nhưng với \( n = 2, -2 \), \( A \) không phải là số chính phương. Tuy nhiên, để chứng minh tổng quát rằng \( A \) không phải là số chính phương với mọi \( n \neq 0, 1, -1 \), ta cần phân tích sâu hơn.

Một cách tiếp cận khác là xem xét tính chất của \( A \) khi \( n \) lớn hơn hoặc nhỏ hơn các giá trị cụ thể. Ta sẽ phân tích \( A \) theo modulo 4, một phương pháp thường dùng để chứng minh một số không phải là số chính phương.

**Phân tích \( A \) theo modulo 4:**

- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{4} \):
\[ A \equiv 0^6 - 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 \equiv 0 \pmod{4} \]

- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{4} \):
\[ A \equiv 1^6 - 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 \equiv 1 - 1 + 2 + 2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4} \]

- Nếu \( n \equiv 2 \pmod{4} \):
\[ A \equiv 2^6 - 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 \equiv 64 - 16 + 16 + 8 \equiv 72 \equiv 0 \pmod{4} \]

- Nếu \( n \equiv 3 \pmod{4} \):
\[ A \equiv 3^6 - 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 \equiv 729 - 81 + 54 + 18 \equiv 720 \equiv 0 \pmod{4} \]

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng \( A \equiv 0 \pmod{4} \) với mọi \( n \). Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận rằng \( A \) không phải là số chính phương, vì một số chính phương có thể chia hết cho 4.

Để chứng minh tổng quát rằng \( A \) không phải là số chính phương, ta cần một phương pháp khác hoặc một phân tích sâu hơn. Tuy nhiên, từ các ví dụ cụ thể, ta thấy rằng với một số giá trị \( n \), \( A \) không phải là số chính phương, điều này gợi ý rằng \( A \) không phải là số chính phương với hầu hết các giá trị \( n \).