Để tìm quy luật của dãy số và số hạng đầu tiên, ta cần xem xét các số hạng đã cho và tìm ra mối quan hệ giữa chúng.

Dãy số đã cho là: 65, 129, 257, 513, 1025

Hãy xem xét các số hạng liên tiếp:

- 129 / 65 ≈ 1.9846
- 257 / 129 ≈ 1.9922
- 513 / 257 ≈ 1.9961
- 1025 / 513 ≈ 1.9980

Nhận thấy rằng các tỉ số này gần bằng 2, có thể giả định rằng mỗi số hạng sau là gấp đôi số hạng trước cộng thêm một số hằng số nào đó.

Thử kiểm tra giả thuyết này bằng cách trừ đi 1 từ mỗi số hạng:

- 65 - 1 = 64
- 129 - 1 = 128
- 257 - 1 = 256
- 513 - 1 = 512
- 1025 - 1 = 1024

Nhận thấy rằng các số này đều là lũy thừa của 2:

- 64 = 2^6
- 128 = 2^7
- 256 = 2^8
- 512 = 2^9
- 1024 = 2^10

Do đó, quy luật của dãy số có thể được biểu diễn như sau:
\[ a_n = 2^{n+5} + 1 \]

Với \( n \) là chỉ số của số hạng trong dãy (bắt đầu từ 1).

Để tìm số hạng đầu tiên của dãy (số hạng thứ nhất), ta thay \( n = 1 \) vào công thức:
\[ a_1 = 2^{1+5} + 1 = 2^6 + 1 = 64 + 1 = 65 \]

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là 65.