a) Để viết biểu thức \(6^8 \cdot 12^5\) dưới dạng \(2^a \cdot 3^b\), ta cần phân tích các số 6 và 12 thành các thừa số nguyên tố:

\[ 6 = 2 \cdot 3 \]
\[ 12 = 2^2 \cdot 3 \]

Bây giờ, ta nâng các số này lên các lũy thừa tương ứng:

\[ 6^8 = (2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8 \]
\[ 12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5 \]

Kết hợp hai biểu thức lại:

\[ 6^8 \cdot 12^5 = 2^8 \cdot 3^8 \cdot 2^{10} \cdot 3^5 = 2^{8+10} \cdot 3^{8+5} = 2^{18} \cdot 3^{13} \]

Do đó, \(a = 18\) và \(b = 13\). Tính \(a - b\):

\[ a - b = 18 - 13 = 5 \]

b)
i) Số \(b = 5,(123)\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn vì nó có một chu kỳ lặp lại (123).

Để tìm chữ số thập phân thứ năm của số \(b\), ta viết ra một vài chữ số đầu tiên của \(b\):

\[ b = 5.123123123...\]

Chữ số thập phân thứ năm là chữ số thứ hai trong chu kỳ lặp lại "123", do đó chữ số thập phân thứ năm là \(2\).

ii) Để ước lượng tích của \(a\) và \(b\):

\[ a = \sqrt{99} \approx 9.94987471 \]
\[ b = 5.123123123... \approx 5.123 \]

Ước lượng tích của \(a\) và \(b\):

\[ a \cdot b \approx 9.94987471 \cdot 5.123 \approx 50.98 \]

Do đó, tích ước lượng của \(a\) và \(b\) là khoảng \(50.98\).