Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình:

\[ x \left( x + \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{2}x + 4 \right) (2x - 5) = \frac{1}{5} \]

chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phân phối và đơn giản hóa các biểu thức.
2. Giải phương trình bậc hai thu được.

Bắt đầu với việc phân phối các biểu thức:

\[ x \left( x + \frac{1}{3} \right) = x^2 + \frac{1}{3}x \]

\[ \left( \frac{1}{2}x + 4 \right) (2x - 5) = \frac{1}{2}x \cdot 2x + \frac{1}{2}x \cdot (-5) + 4 \cdot 2x + 4 \cdot (-5) \]

\[ = x^2 - \frac{5}{2}x + 8x - 20 \]

\[ = x^2 + \frac{11}{2}x - 20 \]

Bây giờ, thay thế các biểu thức đã phân phối vào phương trình ban đầu:

\[ x^2 + \frac{1}{3}x - (x^2 + \frac{11}{2}x - 20) = \frac{1}{5} \]

Đơn giản hóa phương trình:

\[ x^2 + \frac{1}{3}x - x^2 - \frac{11}{2}x + 20 = \frac{1}{5} \]

\[ \frac{1}{3}x - \frac{11}{2}x + 20 = \frac{1}{5} \]

Kết hợp các hệ số của \( x \):

\[ \frac{1}{3}x - \frac{11}{2}x = \frac{2}{6}x - \frac{33}{6}x = -\frac{31}{6}x \]

Do đó, phương trình trở thành:

\[ -\frac{31}{6}x + 20 = \frac{1}{5} \]

Chuyển 20 sang vế phải:

\[ -\frac{31}{6}x = \frac{1}{5} - 20 \]

\[ -\frac{31}{6}x = \frac{1}{5} - \frac{100}{5} \]

\[ -\frac{31}{6}x = -\frac{99}{5} \]

Nhân cả hai vế với \(-\frac{6}{31}\):

\[ x = \left( -\frac{99}{5} \right) \left( -\frac{6}{31} \right) \]

\[ x = \frac{99 \cdot 6}{5 \cdot 31} \]

\[ x = \frac{594}{155} \]

\[ x = \frac{54}{31} \]

Vậy giá trị của \( x \) là \( \frac{54}{31} \).