Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc hoàn thiện bình phương.

### Phương pháp đạo hàm

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 5x + 1) = 4x - 5
\]

2. **Tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \):**
\[
4x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{4}
\]

3. **Kiểm tra giá trị nhỏ nhất tại \( x = \frac{5}{4} \):**
\[
f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 1
\]
\[
= 2 \cdot \frac{25}{16} - 5 \cdot \frac{5}{4} + 1
\]
\[
= \frac{50}{16} - \frac{25}{4} + 1
\]
\[
= \frac{50}{16} - \frac{100}{16} + \frac{16}{16}
\]
\[
= \frac{50 - 100 + 16}{16}
\]
\[
= \frac{-34}{16}
\]
\[
= -\frac{17}{8}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \) là \( -\frac{17}{8} \).

### Phương pháp hoàn thiện bình phương

1. **Biến đổi hàm số về dạng hoàn thiện bình phương:**
\[
f(x) = 2x^2 - 5x + 1
\]
\[
= 2\left(x^2 - \frac{5}{2}x\right) + 1
\]
\[
= 2\left(x^2 - \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2\right) + 1
\]
\[
= 2\left(\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16}\right) + 1
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{50}{16} + 1
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 1
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + \frac{8}{8}
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{17}{8}
\]

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất:**
Giá trị nhỏ nhất của \( 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \) là 0 khi \( x = \frac{5}{4} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \) là \( -\frac{17}{8} \).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \) là \( -\frac{17}{8} \).