Tìm tất cả các cấp số nguyên x, y thỏa mãn 2(x² - 1) + (y-3) (x²+1) = 0

Để tìm tất cả các cặp số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 2(x^2 - 1) + (y - 3)(x^2 + 1) = 0 \), ta sẽ giải phương trình này từng bước.

Đầu tiên, ta phân tích phương trình:
\[ 2(x^2 - 1) + (y - 3)(x^2 + 1) = 0 \]

Mở rộng và nhóm các hạng tử:
\[ 2x^2 - 2 + yx^2 + y - 3x^2 - 3 = 0 \]

Kết hợp các hạng tử chứa \( x^2 \) và các hạng tử không chứa \( x^2 \):
\[ (2x^2 + yx^2 - 3x^2) + (y - 2 - 3) = 0 \]
\[ (2 + y - 3)x^2 + (y - 5) = 0 \]
\[ (y - 1)x^2 + (y - 5) = 0 \]

Ta có phương trình:
\[ (y - 1)x^2 + (y - 5) = 0 \]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, ta xét hai trường hợp:

**Trường hợp 1: \( y - 1 = 0 \)**
\[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \]
Thay \( y = 1 \) vào phương trình:
\[ (1 - 1)x^2 + (1 - 5) = 0 \]
\[ 0 \cdot x^2 - 4 = 0 \]
\[ -4 = 0 \]
Điều này vô lý, nên không có nghiệm trong trường hợp này.

**Trường hợp 2: \( y - 1 \neq 0 \)**
\[ (y - 1)x^2 + (y - 5) = 0 \]
\[ (y - 1)x^2 = 5 - y \]
\[ x^2 = \frac{5 - y}{y - 1} \]

Để \( x^2 \) là một số nguyên, thì \( \frac{5 - y}{y - 1} \) phải là một số nguyên không âm. Ta xét các giá trị của \( y \) sao cho \( \frac{5 - y}{y - 1} \) là một số nguyên.

Xét \( y = 2 \):
\[ x^2 = \frac{5 - 2}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \]
\( x^2 = 3 \) không phải là số nguyên.

Xét \( y = 3 \):
\[ x^2 = \frac{5 - 3}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 \]
\( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)

Xét \( y = 4 \):
\[ x^2 = \frac{5 - 4}{4 - 1} = \frac{1}{3} \]
\( x^2 = \frac{1}{3} \) không phải là số nguyên.

Xét \( y = 5 \):
\[ x^2 = \frac{5 - 5}{5 - 1} = \frac{0}{4} = 0 \]
\( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)

Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
\[ (1, 3), (-1, 3), (0, 5) \]