Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị của \( m \) sao cho phương trình bậc hai \( x^2 - 2(m+4)x + m^2 - 8 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn biểu thức \( B = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta cần đảm bảo phương trình có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

\[
\Delta > 0
\]

Với phương trình \( x^2 - 2(m+4)x + m^2 - 8 = 0 \), ta có:

\[
\Delta = [2(m+4)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 8) = 4(m+4)^2 - 4(m^2 - 8)
\]

\[
\Delta = 4[(m+4)^2 - (m^2 - 8)] = 4[m^2 + 8m + 16 - m^2 + 8] = 4(8m + 24) = 32(m + 3)
\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
32(m + 3) > 0 \implies m + 3 > 0 \implies m > -3
\]

Tiếp theo, ta xét biểu thức \( B = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 \). Sử dụng các hệ thức Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2(m+4)
\]

\[
x_1 x_2 = m^2 - 8
\]

Ta biểu diễn \( B \) theo \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \):

\[
B = x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2
\]

Thay các giá trị từ hệ thức Viète vào:

\[
B = [2(m+4)]^2 - 3(m^2 - 8)
\]

\[
B = 4(m+4)^2 - 3(m^2 - 8)
\]

\[
B = 4(m^2 + 8m + 16) - 3m^2 + 24
\]

\[
B = 4m^2 + 32m + 64 - 3m^2 + 24
\]

\[
B = m^2 + 32m + 88
\]

Để \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( B = m^2 + 32m + 88 \). Đây là một hàm bậc hai có dạng \( B = am^2 + bm + c \) với \( a = 1 \), \( b = 32 \), và \( c = 88 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai đạt được tại:

\[
m = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 \cdot 1} = -16
\]

Với \( m = -16 \), ta kiểm tra điều kiện \( m > -3 \). Rõ ràng \( -16 \) không thỏa mãn điều kiện này. Do đó, ta cần xét lại điều kiện \( m > -3 \) để tìm giá trị \( m \) gần nhất với \( -16 \).

Ta xét \( m = -3 \):

\[
B = (-3)^2 + 32(-3) + 88 = 9 - 96 + 88 = 1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) đạt được khi \( m = -3 \).