Chứng minh rằng không tồn tại các số thực a,b,c thỏa mãn ab/a-b = -1/3; bc/b-c = 1/6; ca/c-a = 1/-4 (trong đó a,b,c đôi một phân biệt )

Để chứng minh rằng không tồn tại các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn các điều kiện \( \frac{ab}{a-b} = -\frac{1}{3} \), \( \frac{bc}{b-c} = \frac{1}{6} \), và \( \frac{ca}{c-a} = -\frac{1}{4} \) (trong đó \(a, b, c\) đôi một phân biệt), chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện và tìm mâu thuẫn.

Đầu tiên, ta viết lại các phương trình:

1. \( \frac{ab}{a-b} = -\frac{1}{3} \)
2. \( \frac{bc}{b-c} = \frac{1}{6} \)
3. \( \frac{ca}{c-a} = -\frac{1}{4} \)

Từ phương trình (1):

\[ \frac{ab}{a-b} = -\frac{1}{3} \]
\[ ab = -\frac{1}{3}(a - b) \]
\[ 3ab = -(a - b) \]
\[ 3ab = -a + b \]
\[ 3ab + a = b \]
\[ a(3b + 1) = b \]
\[ a = \frac{b}{3b + 1} \quad \text{(1.1)} \]

Từ phương trình (2):

\[ \frac{bc}{b-c} = \frac{1}{6} \]
\[ bc = \frac{1}{6}(b - c) \]
\[ 6bc = b - c \]
\[ 6bc - b = -c \]
\[ c(6b + 1) = b \]
\[ c = \frac{b}{6b + 1} \quad \text{(2.1)} \]

Từ phương trình (3):

\[ \frac{ca}{c-a} = -\frac{1}{4} \]
\[ ca = -\frac{1}{4}(c - a) \]
\[ 4ca = -(c - a) \]
\[ 4ca = -c + a \]
\[ 4ca + c = a \]
\[ c(4a + 1) = a \]
\[ c = \frac{a}{4a + 1} \quad \text{(3.1)} \]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng các biểu thức (1.1), (2.1), và (3.1) để tìm mâu thuẫn.

Từ (1.1) và (2.1):

\[ a = \frac{b}{3b + 1} \]
\[ c = \frac{b}{6b + 1} \]

Thay \( a \) từ (1.1) vào (3.1):

\[ c = \frac{\frac{b}{3b + 1}}{4 \left( \frac{b}{3b + 1} \right) + 1} \]
\[ c = \frac{\frac{b}{3b + 1}}{\frac{4b}{3b + 1} + 1} \]
\[ c = \frac{\frac{b}{3b + 1}}{\frac{4b + 3b + 1}{3b + 1}} \]
\[ c = \frac{b}{4b + 3b + 1} \]
\[ c = \frac{b}{7b + 1} \]

Nhưng từ (2.1), ta có:

\[ c = \frac{b}{6b + 1} \]

Do đó:

\[ \frac{b}{7b + 1} = \frac{b}{6b + 1} \]

Điều này chỉ có thể xảy ra nếu:

\[ 7b + 1 = 6b + 1 \]
\[ 7b + 1 = 6b + 1 \]
\[ 7b = 6b \]
\[ b = 0 \]

Nếu \( b = 0 \), thì từ (1.1):

\[ a = \frac{0}{3 \cdot 0 + 1} = 0 \]

Và từ (2.1):

\[ c = \frac{0}{6 \cdot 0 + 1} = 0 \]

Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng \(a, b, c\) đôi một phân biệt. Do đó, không tồn tại các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.