Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng tỏ góc xOz và tOy là hai góc đối đỉnh

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ góc nhọn \( xOy \).
- Vẽ góc \( xOz \) kề bù với góc \( xOy \). Điều này có nghĩa là \( \angle xOy + \angle xOz = 180^\circ \).
- Vẽ góc \( yOt \) kề bù với góc \( xOy \). Điều này có nghĩa là \( \angle yOt + \angle xOy = 180^\circ \).

2. **Chứng minh**:
- Vì \( \angle xOz \) và \( \angle xOy \) là hai góc kề bù, nên \( \angle xOz = 180^\circ - \angle xOy \).
- Vì \( \angle yOt \) và \( \angle xOy \) là hai góc kề bù, nên \( \angle yOt = 180^\circ - \angle xOy \).
- Do đó, \( \angle xOz = \angle yOt \).

- Xét hai góc \( \angle xOz \) và \( \angle tOy \):
- \( \angle xOz \) và \( \angle tOy \) có chung đỉnh \( O \).
- Tia \( Oz \) và tia \( Ot \) là hai tia đối nhau.
- Tia \( Ox \) và tia \( Oy \) là hai tia đối nhau.

- Theo định nghĩa, hai góc có chung đỉnh và các cạnh của góc này là phần kéo dài của các cạnh của góc kia thì hai góc đó là hai góc đối đỉnh.

- Vậy, \( \angle xOz \) và \( \angle tOy \) là hai góc đối đỉnh.

### b) Chứng minh \( \angle zOm = \angle yOn \)

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tia phân giác \( Om \) của góc \( xOz \). Điều này có nghĩa là \( \angle xOm = \angle mOz \).
- Vẽ tia phân giác \( On \) của góc \( yOt \). Điều này có nghĩa là \( \angle yOn = \angle nOt \).

2. **Chứng minh**:
- Vì \( \angle xOz \) và \( \angle yOt \) là hai góc kề bù với góc \( xOy \), nên \( \angle xOz = \angle yOt \).

- Gọi \( \alpha = \angle xOz \) và \( \beta = \angle yOt \). Ta có \( \alpha = \beta \).

- Tia phân giác \( Om \) của góc \( xOz \) chia góc \( xOz \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle xOm = \angle mOz = \frac{\alpha}{2}
\]

- Tia phân giác \( On \) của góc \( yOt \) chia góc \( yOt \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle yOn = \angle nOt = \frac{\beta}{2}
\]

- Vì \( \alpha = \beta \), nên:
\[
\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2}
\]

- Do đó:
\[
\angle zOm = \frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \angle yOn
\]

- Vậy, \( \angle zOm = \angle yOn \).

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng \( \angle xOz \) và \( \angle tOy \) là hai góc đối đỉnh, và \( \angle zOm = \angle yOn \).