Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý cosin và định lý sin trong tam giác. Đầu tiên, ta sẽ sử dụng định lý cosin để tìm cạnh AC.

Định lý cosin cho tam giác ABC với góc B = 60°:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(B) \]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[ 4.5^2 = 3^2 + AC^2 - 2 \cdot 3 \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \]

Ta biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), do đó:

\[ 20.25 = 9 + AC^2 - 3 \cdot AC \]

Giải phương trình này để tìm AC:

\[ 20.25 = 9 + AC^2 - 1.5 \cdot AC \]

\[ AC^2 - 1.5 \cdot AC + 9 - 20.25 = 0 \]

\[ AC^2 - 1.5 \cdot AC - 11.25 = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = -1.5 \), và \( c = -11.25 \):

\[ AC = \frac{-(-1.5) \pm \sqrt{(-1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11.25)}}{2 \cdot 1} \]

\[ AC = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 + 45}}{2} \]

\[ AC = \frac{1.5 \pm \sqrt{47.25}}{2} \]

\[ AC = \frac{1.5 \pm 6.87}{2} \]

Chọn nghiệm dương:

\[ AC = \frac{1.5 + 6.87}{2} \]

\[ AC = \frac{8.37}{2} \]

\[ AC \approx 4.185 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, ta sử dụng định lý sin để tìm các góc còn lại trong tam giác ABC. Định lý sin cho tam giác ABC:

\[ \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)} \]

Ta biết rằng \( B = 60^\circ \), \( AB = 3 \, \text{cm} \), \( BC = 4.5 \, \text{cm} \), và \( AC \approx 4.185 \, \text{cm} \). Sử dụng định lý sin:

\[ \frac{3}{\sin(C)} = \frac{4.185}{\sin(60^\circ)} \]

\[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \frac{3}{\sin(C)} = \frac{4.185}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \frac{3}{\sin(C)} = \frac{4.185 \cdot 2}{\sqrt{3}} \]

\[ \frac{3}{\sin(C)} = \frac{8.37}{\sqrt{3}} \]

\[ \sin(C) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{8.37} \]

\[ \sin(C) \approx 0.619 \]

Sử dụng bảng sin hoặc máy tính để tìm góc \( C \):

\[ C \approx 38.2^\circ \]

Cuối cùng, ta tính góc \( A \) bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác:

\[ A = 180^\circ - B - C \]

\[ A = 180^\circ - 60^\circ - 38.2^\circ \]

\[ A \approx 81.8^\circ \]

Tóm lại, các giá trị cần tìm là:

- \( AC \approx 4.185 \, \text{cm} \)
- \( C \approx 38.2^\circ \)
- \( A \approx 81.8^\circ \)