Để giải bài toán này, ta gọi:
- \( x \) là số tiền mua giày của Nam (đơn vị: đồng)
- \( y \) là số tiền mua giày của Minh (đơn vị: đồng)

Theo đề bài, ta có hai thông tin:
1. \( \frac{5}{6} y = \frac{3}{4} x \)
2. \( y = x - 45000 \)

Từ thông tin thứ nhất, ta có:
\[ \frac{5}{6} y = \frac{3}{4} x \]
Nhân cả hai vế với 12 để khử mẫu số:
\[ 10y = 9x \]
\[ y = \frac{9}{10} x \]

Từ thông tin thứ hai:
\[ y = x - 45000 \]

Thay \( y = \frac{9}{10} x \) vào phương trình \( y = x - 45000 \):
\[ \frac{9}{10} x = x - 45000 \]

Giải phương trình này:
\[ \frac{9}{10} x = x - 45000 \]
\[ 9x = 10x - 450000 \]
\[ 10x - 9x = 450000 \]
\[ x = 450000 \]

Vậy số tiền mua giày của Nam là 450000 đồng. Thay \( x = 450000 \) vào phương trình \( y = x - 45000 \):
\[ y = 450000 - 45000 \]
\[ y = 405000 \]

Vậy số tiền mua giày của Minh là 405000 đồng.

Kết luận:
- Đôi giày của Nam có giá 450000 đồng.
- Đôi giày của Minh có giá 405000 đồng.