Để chứng minh rằng trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kỳ là đỉnh của một hình bình hành, chúng ta có thể sử dụng định lý Varignon. Định lý này phát biểu rằng trung điểm của các cạnh của một tứ giác luôn tạo thành một hình bình hành.

Giả sử tứ giác \(ABCD\) có các trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), và \(DA\) lần lượt là \(M\), \(N\), \(P\), và \(Q\).

Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác \(MNPQ\) là một hình bình hành.

1. **Xét các vector:**

- Gọi \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\), và \(D(x_4, y_4)\) là tọa độ của các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).
- Trung điểm \(M\) của \(AB\) có tọa độ:
\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
- Trung điểm \(N\) của \(BC\) có tọa độ:
\[
N\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)
\]
- Trung điểm \(P\) của \(CD\) có tọa độ:
\[
P\left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right)
\]
- Trung điểm \(Q\) của \(DA\) có tọa độ:
\[
Q\left(\frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2}\right)
\]

2. **Chứng minh các vector đối diện bằng nhau:**

- Vector \(\overrightarrow{MN}\):
\[
\overrightarrow{MN} = \left(\frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{x_3 - x_1}{2}, \frac{y_3 - y_1}{2}\right)
\]
- Vector \(\overrightarrow{PQ}\):
\[
\overrightarrow{PQ} = \left(\frac{x_4 + x_1}{2} - \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} - \frac{y_3 + y_4}{2}\right) = \left(\frac{x_1 - x_3}{2}, \frac{y_1 - y_3}{2}\right)
\]
Chúng ta thấy rằng:
\[
\overrightarrow{PQ} = -\overrightarrow{MN}
\]
Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{PQ}\) có cùng độ dài và ngược hướng, tức là chúng song song và bằng nhau về độ dài.

- Tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng:
\[
\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MQ}
\]

3. **Kết luận:**

Vì các cặp vector đối diện \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{PQ}\), \(\overrightarrow{NP}\) và \(\overrightarrow{MQ}\) đều song song và bằng nhau về độ dài, tứ giác \(MNPQ\) là một hình bình hành.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kỳ là đỉnh của một hình bình hành.