Giải phương trình sau trên tập hợp số nguyên:

Để giải phương trình \( x^3 - y^3 - 1 = (x + y - 1)^2 \) trên tập hợp số nguyên, chúng ta sẽ phân tích và tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho phương trình thỏa mãn.

Bước 1: Phân tích phương trình ban đầu:
\[ x^3 - y^3 - 1 = (x + y - 1)^2 \]

Bước 2: Sử dụng các công thức hằng đẳng thức để đơn giản hóa:
- \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
- \( (x + y - 1)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 \)

Thay vào phương trình ban đầu:
\[ (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 \]

Bước 3: Đặt \( x = y \):
Nếu \( x = y \), phương trình trở thành:
\[ x^3 - x^3 - 1 = (x + x - 1)^2 \]
\[ -1 = (2x - 1)^2 \]

Điều này không thể xảy ra vì bình phương của một số luôn không âm, do đó \( -1 \neq (2x - 1)^2 \).

Bước 4: Thử các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \):
Chúng ta sẽ thử một số giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Giả sử \( x = 1 \):
\[ 1^3 - y^3 - 1 = (1 + y - 1)^2 \]
\[ 1 - y^3 - 1 = y^2 \]
\[ -y^3 = y^2 \]
\[ y^2 + y^3 = 0 \]
\[ y^2(y + 1) = 0 \]

Điều này cho ta các nghiệm \( y = 0 \) hoặc \( y = -1 \).

- Nếu \( y = 0 \):
\[ x = 1, y = 0 \]
Kiểm tra lại:
\[ 1^3 - 0^3 - 1 = (1 + 0 - 1)^2 \]
\[ 0 = 0 \]
Nghiệm này thỏa mãn.

- Nếu \( y = -1 \):
\[ x = 1, y = -1 \]
Kiểm tra lại:
\[ 1^3 - (-1)^3 - 1 = (1 - 1 - 1)^2 \]
\[ 1 + 1 - 1 = 1 \]
\[ 1 = 1 \]
Nghiệm này cũng thỏa mãn.

Bước 5: Kết luận:
Các nghiệm nguyên của phương trình \( x^3 - y^3 - 1 = (x + y - 1)^2 \) là:
\[ (x, y) = (1, 0) \]
\[ (x, y) = (1, -1) \]