Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn phân tích các đa thức thành nhân tử. Đây là một quá trình đòi hỏi sự cẩn thận và kỹ năng trong việc nhận diện các dạng đặc biệt của đa thức. Hãy cùng xem xét từng trường hợp:

a) \( x^2 + 4x + xy + 4y \)

Ta nhóm các hạng tử lại:
\[ x^2 + xy + 4x + 4y \]
\[ = x(x + y) + 4(x + y) \]
\[ = (x + y)(x + 4) \]

b) \( x^2 - 2xy - 25 + y^2 \)

Ta nhóm các hạng tử lại:
\[ x^2 - 2xy + y^2 - 25 \]
\[ = (x - y)^2 - 25 \]
\[ = (x - y)^2 - 5^2 \]
\[ = [(x - y) - 5][(x - y) + 5] \]
\[ = (x - y - 5)(x - y + 5) \]

c) \( x^8 + x^4 + 1 \)

Đây là một đa thức bậc cao, ta có thể sử dụng phương pháp đặt \( y = x^4 \):
\[ x^8 + x^4 + 1 = y^2 + y + 1 \]

Ta nhận thấy \( y^2 + y + 1 \) là một đa thức không thể phân tích thành nhân tử trong tập số thực, nhưng trong tập số phức, ta có thể viết:
\[ y^2 + y + 1 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \]

Vậy:
\[ x^8 + x^4 + 1 = (x^4 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(x^4 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) \]

d) \( x^8 + 3x^4 + 4 \)

Tương tự, ta đặt \( y = x^4 \):
\[ x^8 + 3x^4 + 4 = y^2 + 3y + 4 \]

Ta giải phương trình bậc hai:
\[ y^2 + 3y + 4 = 0 \]
\[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực, do đó không thể phân tích thành nhân tử trong tập số thực.

e) \( x^4 + 4 \)

Đây là một đa thức bậc cao, ta có thể viết lại:
\[ x^4 + 4 = x^4 + 4 \cdot 1^4 \]

Sử dụng công thức phân tích:
\[ x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \]
\[ = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) \]

Hy vọng những phân tích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc bạn học tốt!