### Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9 cm.

#### a) Tính độ dài đường cao AH và cạnh BC của tam giác ABC.

Ta có:
\[ BH = 4 \, \text{cm}, \, CH = 9 \, \text{cm} \]

Do tam giác ABC vuông tại A, nên H là chân đường cao từ A xuống BC, và H chia BC thành hai đoạn BH và CH.

Ta có:
\[ BC = BH + CH = 4 \, \text{cm} + 9 \, \text{cm} = 13 \, \text{cm} \]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

Thay số vào:
\[ AH^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]

Suy ra:
\[ AH = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm} \]

Vậy độ dài đường cao AH là 6 cm và cạnh BC là 13 cm.

#### b) Vẽ trung tuyến AM (M thuộc BC) của tam giác ABC, tính AM và diện tích tam giác AHM.

Trung tuyến AM của tam giác vuông ABC vuông tại A sẽ bằng nửa cạnh huyền BC:
\[ AM = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{cm} \]

Diện tích tam giác AHM:
Tam giác AHM có AH là đường cao và HM là đáy. HM là nửa của BC:
\[ HM = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{cm} \]

Diện tích tam giác AHM:
\[ S_{AHM} = \frac{1}{2} \times AH \times HM = \frac{1}{2} \times 6 \times 6.5 = 19.5 \, \text{cm}^2 \]

Vậy AM = 6.5 cm và diện tích tam giác AHM là 19.5 cm².

### Bài 4:

Cho tam giác vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Biết \( AM = \frac{1}{2} BC \). Hãy tính AH và diện tích tam giác ABC.

#### a) Tính AH

Do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC, nên:
\[ AM = \frac{1}{2} BC \]

Ta có:
\[ AM = \frac{1}{2} BC \]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

Do tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[ BC = BH + CH \]

#### b) Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \]

Tuy nhiên, để tính diện tích tam giác ABC, ta cần biết độ dài của các cạnh AB và AC. Nếu không có thêm thông tin về các cạnh này, ta không thể tính chính xác diện tích tam giác ABC.