Cho tứ giác ABCD và điểm E không nằm trên đường thẳng DA. Gọi M, N, P, Q theo tứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, EA. Gọi X, Y theo thứ tự là trung điểm của MP, NQ. Chứng minh DE = 4XY

Để chứng minh \( DE = 4XY \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng song song.

1. **Xác định các trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( BC \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \).
- \( Q \) là trung điểm của \( EA \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \).
- \( N \) là trung điểm của \( BC \) nên \( \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \) nên \( \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \).
- \( Q \) là trung điểm của \( EA \) nên \( \vec{Q} = \frac{\vec{E} + \vec{A}}{2} \).

3. **Xác định các trung điểm \( X \) và \( Y \):**
- \( X \) là trung điểm của \( MP \) nên \( \vec{X} = \frac{\vec{M} + \vec{P}}{2} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} \).
- \( Y \) là trung điểm của \( NQ \) nên \( \vec{Y} = \frac{\vec{N} + \vec{Q}}{2} = \frac{\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{E} + \vec{A}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{E}}{4} \).

4. **Tính vector \( \vec{XY} \):**
\[
\vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{E}}{4} - \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} = \frac{\vec{E} - \vec{D}}{4}
\]

5. **Tính độ dài \( XY \):**
\[
XY = \left| \vec{XY} \right| = \left| \frac{\vec{E} - \vec{D}}{4} \right| = \frac{1}{4} \left| \vec{E} - \vec{D} \right| = \frac{DE}{4}
\]

6. **Kết luận:**
\[
DE = 4XY
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( DE = 4XY \).