Để tìm giá trị của \( x \) trong các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

a) \(\left| \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \right| = |4x - 1|\)

Ta có hai trường hợp:

1. \(\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 4x - 1\)
\[ \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 4x - 1 \]
\[ \frac{3}{2}x - 4x = -1 - \frac{1}{2} \]
\[ -\frac{5}{2}x = -\frac{3}{2} \]
\[ x = \frac{3}{5} \]

2. \(\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = -(4x - 1)\)
\[ \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = -4x + 1 \]
\[ \frac{3}{2}x + 4x = 1 - \frac{1}{2} \]
\[ \frac{11}{2}x = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{1}{11} \]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = \frac{3}{5} \) hoặc \( x = \frac{1}{11} \).

b) \(\left| \frac{7}{5}x + \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{4}{3}x - \frac{1}{4} \right|\)

Ta có hai trường hợp:

1. \(\frac{7}{5}x + \frac{1}{2} = \frac{4}{3}x - \frac{1}{4}\)
\[ \frac{7}{5}x - \frac{4}{3}x = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \]
\[ \frac{21}{15}x - \frac{20}{15}x = -\frac{3}{4} \]
\[ \frac{1}{15}x = -\frac{3}{4} \]
\[ x = -\frac{45}{4} \]

2. \(\frac{7}{5}x + \frac{1}{2} = -\left( \frac{4}{3}x - \frac{1}{4} \right)\)
\[ \frac{7}{5}x + \frac{1}{2} = -\frac{4}{3}x + \frac{1}{4} \]
\[ \frac{7}{5}x + \frac{4}{3}x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \]
\[ \frac{21}{15}x + \frac{20}{15}x = -\frac{1}{4} \]
\[ \frac{41}{15}x = -\frac{1}{4} \]
\[ x = -\frac{15}{4 \times 41} \]
\[ x = -\frac{15}{164} \]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{45}{4} \) hoặc \( x = -\frac{15}{164} \).

c) \(\left| \frac{5}{4}x - \frac{7}{2} \right| - \left| \frac{5}{8}x + \frac{3}{5} \right| = 0\)

Ta có:
\[ \left| \frac{5}{4}x - \frac{7}{2} \right| = \left| \frac{5}{8}x + \frac{3}{5} \right| \]

Tương tự như trên, ta có hai trường hợp:

1. \(\frac{5}{4}x - \frac{7}{2} = \frac{5}{8}x + \frac{3}{5}\)
\[ \frac{5}{4}x - \frac{5}{8}x = \frac{3}{5} + \frac{7}{2} \]
\[ \frac{10}{8}x - \frac{5}{8}x = \frac{6}{10} + \frac{35}{10} \]
\[ \frac{5}{8}x = \frac{41}{10} \]
\[ x = \frac{41 \times 8}{10 \times 5} \]
\[ x = \frac{328}{50} \]
\[ x = \frac{164}{25} \]

2. \(\frac{5}{4}x - \frac{7}{2} = -\left( \frac{5}{8}x + \frac{3}{5} \right)\)
\[ \frac{5}{4}x - \frac{7}{2} = -\frac{5}{8}x - \frac{3}{5} \]
\[ \frac{10}{8}x + \frac{5}{8}x = -\frac{6}{10} - \frac{35}{10} \]
\[ \frac{15}{8}x = -\frac{41}{10} \]
\[ x = -\frac{41 \times 8}{10 \times 15} \]
\[ x = -\frac{328}{150} \]
\[ x = -\frac{164}{75} \]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = \frac{164}{25} \) hoặc \( x = -\frac{164}{75} \).

d) \(\left| \frac{7}{8}x + \frac{5}{6} \right| - \left| \frac{1}{2}x + 5 \right| = 0\)

Ta có:
\[ \left| \frac{7}{8}x + \frac{5}{6} \right| = \left| \frac{1}{2}x + 5 \right| \]

Tương tự như trên, ta có hai trường hợp:

1. \(\frac{7}{8}x + \frac{5}{6} = \frac{1}{2}x + 5\)
\[ \frac{7}{8}x - \frac{1}{2}x = 5 - \frac{5}{6} \]
\[ \frac{7}{8}x - \frac{4}{8}x = \frac{30}{6} - \frac{5}{6} \]
\[ \frac{3}{8}x = \frac{25}{6} \]
\[ x = \frac{25 \times 8}{6 \times 3} \]
\[ x = \frac{200}{18} \]
\[ x = \frac{100}{9} \]

2. \(\frac{7}{8}x + \frac{5}{6} = -\left( \frac{1}{2}x + 5 \right)\)
\[ \frac{7}{8}x + \frac{5}{6} = -\frac{1}{2}x - 5 \]
\[ \frac{7}{8}x + \frac{1}{2}x = -5 - \frac{5}{6} \]
\[ \frac{7}{8}x + \frac{4}{8}x = -\frac{30}{6} - \frac{5}{6} \]
\[ \frac{11}{8}x = -\frac{35}{6} \]
\[ x = -\frac{35 \times 8}{6 \times 11} \]
\[ x = -\frac{280}{66} \]
\[ x = -\frac{140}{33} \]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = \frac{100}{9} \) hoặc \( x = -\frac{140}{33} \).