Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi.

### a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân

Ta có tam giác ABC là tam giác đều, do đó các cạnh AB, BC, CA đều bằng nhau và các góc trong đều bằng 60 độ.

- Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB tại P.
- Đường thẳng qua M song song với CA cắt BC tại Q.
- Đường thẳng qua M song song với AB cắt CA tại R.

Do các đường thẳng qua M song song với các cạnh của tam giác ABC, ta có:
- MP // BC
- MQ // CA
- MR // AB

Xét tứ giác APMR:
- MP // AR (do MP // BC và AR // BC)
- Góc AMP = Góc MAR (do tam giác ABC đều nên các góc bằng nhau)

Do đó, tứ giác APMR có hai cạnh đối song song và hai góc kề một cạnh bằng nhau, nên tứ giác APMR là hình thang cân.

### b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC

Xét các tam giác nhỏ được tạo thành bởi các đường thẳng song song:
- Tam giác AMP: MP // BC nên tam giác AMP đồng dạng với tam giác ABC.
- Tam giác MQR: MQ // CA nên tam giác MQR đồng dạng với tam giác ABC.
- Tam giác MRQ: MR // AB nên tam giác MRQ đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, các đoạn thẳng MP, MQ, MR lần lượt bằng các đoạn thẳng MA, MB, MC.

Chu vi tam giác PQR = PQ + QR + RP
= (MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MA)
= MA + MB + MC.

### c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Tam giác PQR sẽ là tam giác đều khi và chỉ khi các đoạn thẳng PQ, QR, RP bằng nhau. Điều này xảy ra khi M là trọng tâm của tam giác ABC.

Trọng tâm của tam giác đều ABC là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Khi M là trọng tâm, các đoạn thẳng từ M đến các cạnh của tam giác đều bằng nhau, do đó các đoạn thẳng PQ, QR, RP cũng bằng nhau.

Vậy, với vị trí của M là trọng tâm của tam giác ABC thì tam giác PQR là tam giác đều.