Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( 5^{25} \cdot 5^x - 1 = 5^{25} \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Đơn giản hóa phương trình:**
\[
5^{25} \cdot 5^x - 1 = 5^{25}
\]

2. **Nhận dạng rằng \( 5^{25} \cdot 5^x \) có thể được viết lại dưới dạng một lũy thừa duy nhất:**
\[
5^{25+x} - 1 = 5^{25}
\]

3. **Chuyển hạng tử \( -1 \) sang vế phải của phương trình:**
\[
5^{25+x} = 5^{25} + 1
\]

4. **Nhận thấy rằng \( 5^{25} + 1 \) không thể được viết dưới dạng lũy thừa của 5, do đó phương trình không có nghiệm nguyên \( x \).**

Vậy, phương trình \( 5^{25} \cdot 5^x - 1 = 5^{25} \) không có nghiệm nguyên \( x \).