Để tính đường cao \( AH \) và cạnh \( AC \) của tam giác \( \Delta ABC \) với \( BC = 21 \) m, \( \angle B = 60^\circ \), và \( \angle C = 40^\circ \), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác trong tam giác.

1. **Tính cạnh \( AC \):**

Sử dụng định lý sin trong tam giác:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

Trước hết, tính góc \( A \):
\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ \]

Áp dụng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
\[ \frac{21}{\sin 80^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Tính \( \sin 80^\circ \) và \( \sin 60^\circ \):
\[ \sin 80^\circ \approx 0.9848 \]
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]

Thay vào công thức:
\[ \frac{21}{0.9848} = \frac{AC}{0.866} \]
\[ AC = \frac{21 \times 0.866}{0.9848} \approx 18.45 \, \text{m} \]

2. **Tính đường cao \( AH \):**

Đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) vuông góc với cạnh \( BC \) có thể tính bằng cách sử dụng diện tích tam giác \( \Delta ABC \).

Diện tích tam giác \( \Delta ABC \):
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AC \times \sin A \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 18.45 \times \sin 80^\circ \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 18.45 \times 0.9848 \]
\[ S \approx 190.5 \, \text{m}^2 \]

Đường cao \( AH \):
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
\[ 190.5 = \frac{1}{2} \times 21 \times AH \]
\[ AH = \frac{190.5 \times 2}{21} \approx 18.14 \, \text{m} \]

Vậy, đường cao \( AH \) khoảng 18.14 m và cạnh \( AC \) khoảng 18.45 m. Diện tích tam giác \( \Delta ABC \) là khoảng 190.5 m².