Tìm x ∈ Z để mỗi biểu thức sau là số nguyên

Để mỗi biểu thức là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho các biểu thức này là số nguyên.

a) \( M = \frac{x - 4}{2x + 1} \)

Để \( M \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số, tức là \( x - 4 \) phải chia hết cho \( 2x + 1 \).

Ta giải phương trình:
\[ x - 4 = k(2x + 1) \]
\[ x - 4 = 2kx + k \]
\[ x - 2kx = k + 4 \]
\[ x(1 - 2k) = k + 4 \]

Vì \( x \in \mathbb{Z} \), nên \( 1 - 2k \) phải là ước của \( k + 4 \).

Thử các giá trị của \( k \):
- Nếu \( k = 0 \), ta có \( x = 4 \).
- Nếu \( k = 1 \), ta có \( x = \frac{5}{-1} = -5 \).
- Nếu \( k = -1 \), ta có \( x = \frac{3}{3} = 1 \).

Vậy các giá trị của \( x \) là \( x = 4, -5, 1 \).

b) \( N = \frac{x + 4}{3x + 5} \)

Để \( N \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số, tức là \( x + 4 \) phải chia hết cho \( 3x + 5 \).

Ta giải phương trình:
\[ x + 4 = k(3x + 5) \]
\[ x + 4 = 3kx + 5k \]
\[ x - 3kx = 5k - 4 \]
\[ x(1 - 3k) = 5k - 4 \]

Vì \( x \in \mathbb{Z} \), nên \( 1 - 3k \) phải là ước của \( 5k - 4 \).

Thử các giá trị của \( k \):
- Nếu \( k = 0 \), ta có \( x = -4 \).
- Nếu \( k = 1 \), ta có \( x = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \) (không phải số nguyên).
- Nếu \( k = -1 \), ta có \( x = \frac{9}{4} \) (không phải số nguyên).

Vậy giá trị của \( x \) là \( x = -4 \).

c) \( P = \frac{x + 1}{3x - 3} \)

Để \( P \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số, tức là \( x + 1 \) phải chia hết cho \( 3x - 3 \).

Ta giải phương trình:
\[ x + 1 = k(3x - 3) \]
\[ x + 1 = 3kx - 3k \]
\[ x - 3kx = -3k - 1 \]
\[ x(1 - 3k) = -3k - 1 \]

Vì \( x \in \mathbb{Z} \), nên \( 1 - 3k \) phải là ước của \( -3k - 1 \).

Thử các giá trị của \( k \):
- Nếu \( k = 0 \), ta có \( x = -1 \).
- Nếu \( k = 1 \), ta có \( x = \frac{-4}{-2} = 2 \).
- Nếu \( k = -1 \), ta có \( x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) (không phải số nguyên).

Vậy các giá trị của \( x \) là \( x = -1, 2 \).