Để chứng minh rằng \( IH = IE \) trong bài toán 3, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các tam giác đồng dạng.

**Bước 1: Xét các tam giác vuông**

- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Đường thẳng \( HE \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \).

**Bước 2: Xét các tam giác đồng dạng**

- Do \( HE \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \), ta có \( \triangle AHE \) vuông tại \( E \).
- Xét \( \triangle BEH \) và \( \triangle HEM \):
- \( \angle BEH = \angle HEM \) (giả thiết).
- \( \angle EHB \) chung.

Do đó, \( \triangle BEH \sim \triangle HEM \) (góc-góc).

**Bước 3: Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng**

- Từ \( \triangle BEH \sim \triangle HEM \), ta có:
\[
\frac{BE}{EH} = \frac{EH}{EM}
\]
Suy ra:
\[
EH^2 = BE \cdot EM
\]

**Bước 4: Xét tam giác \( \triangle AHE \) và điểm \( I \)**

- Điểm \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( HE \).
- Do \( \triangle BEH \sim \triangle HEM \), ta có \( EH \) là trung bình nhân của \( BE \) và \( EM \).

**Bước 5: Chứng minh \( IH = IE \)**

- Xét tam giác \( \triangle AHE \):
- \( HE \) là đường cao từ \( H \) xuống \( AC \).
- \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( HE \).

- Do \( \triangle BEH \sim \triangle HEM \), ta có:
\[
\frac{IH}{IE} = \frac{EH}{EH} = 1
\]
Suy ra:
\[
IH = IE
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IH = IE \).