Dựa trên nội dung trong ảnh, ta có các bài toán xác định hàm số bậc nhất \( y = ax + b \) trong các trường hợp sau:

1. Xác định hàm số bậc nhất \( y = ax + b \) trong các trường hợp sau:
a) \( a = -3 \) và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( x = \frac{2}{3} \).
b) \( a = 1 \) và đồ thị hàm số đi qua điểm \( M(2; -4) \).
c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm \( A(-3; -2) \) và \( B(1; 5) \).
d) Vẽ đồ thị 2 hàm số xác định ở 2 câu a) và b) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng đó.

2. Xác định hàm số bậc nhất \( y = ax + b \) trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm \( M(1; -2) \) và song song với đường thẳng \( y = 3x + 1 \).
b) Đi qua điểm \( N(-2; 3) \) và vuông góc với đường thẳng \( y = -2x - 5 \).
c) Đi qua điểm \( P(5; 2) \) và song song với đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).

### Giải các bài toán:

1. a) \( a = -3 \) và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \( x = \frac{2}{3} \).
- Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành, \( y = 0 \).
- Thay \( x = \frac{2}{3} \) vào phương trình \( y = -3x + b \):
\[
0 = -3 \cdot \frac{2}{3} + b \implies b = 2
\]
- Vậy hàm số là \( y = -3x + 2 \).

1. b) \( a = 1 \) và đồ thị hàm số đi qua điểm \( M(2; -4) \).
- Thay \( x = 2 \) và \( y = -4 \) vào phương trình \( y = x + b \):
\[
-4 = 2 + b \implies b = -6
\]
- Vậy hàm số là \( y = x - 6 \).

1. c) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm \( A(-3; -2) \) và \( B(1; 5) \).
- Sử dụng công thức tính hệ số góc \( a \):
\[
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-2)}{1 - (-3)} = \frac{7}{4}
\]
- Thay \( a = \frac{7}{4} \) và điểm \( A(-3; -2) \) vào phương trình \( y = ax + b \):
\[
-2 = \frac{7}{4} \cdot (-3) + b \implies -2 = -\frac{21}{4} + b \implies b = \frac{13}{4}
\]
- Vậy hàm số là \( y = \frac{7}{4}x + \frac{13}{4} \).

1. d) Vẽ đồ thị 2 hàm số xác định ở 2 câu a) và b) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng đó.
- Hàm số từ câu a): \( y = -3x + 2 \)
- Hàm số từ câu b): \( y = x - 6 \)
- Giải hệ phương trình:
\[
-3x + 2 = x - 6 \implies -4x = -8 \implies x = 2
\]
\[
y = 2 - 6 = -4
\]
- Giao điểm là \( (2, -4) \).

2. a) Đi qua điểm \( M(1; -2) \) và song song với đường thẳng \( y = 3x + 1 \).
- Đường thẳng song song có hệ số góc \( a = 3 \).
- Thay \( x = 1 \) và \( y = -2 \) vào phương trình \( y = 3x + b \):
\[
-2 = 3 \cdot 1 + b \implies b = -5
\]
- Vậy hàm số là \( y = 3x - 5 \).

2. b) Đi qua điểm \( N(-2; 3) \) và vuông góc với đường thẳng \( y = -2x - 5 \).
- Đường thẳng vuông góc có hệ số góc \( a = \frac{1}{2} \).
- Thay \( x = -2 \) và \( y = 3 \) vào phương trình \( y = \frac{1}{2}x + b \):
\[
3 = \frac{1}{2} \cdot (-2) + b \implies 3 = -1 + b \implies b = 4
\]
- Vậy hàm số là \( y = \frac{1}{2}x + 4 \).

2. c) Đi qua điểm \( P(5; 2) \) và song song với đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).
- Đường thẳng song song có hệ số góc \( a = \frac{1}{2} \).
- Thay \( x = 5 \) và \( y = 2 \) vào phương trình \( y = \frac{1}{2}x + b \):
\[
2 = \frac{1}{2} \cdot 5 + b \implies 2 = \frac{5}{2} + b \implies b = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}
\]
- Vậy hàm số là \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \).