Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

a) Chứng minh: ΔAMB = ΔCMD

- Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC.
- MB = MD (theo giả thiết).
- Góc AMB và góc CMD là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có ΔAMB = ΔCMD.

b) Chứng minh: AB = CD và AB // CD

- Từ phần a, ta đã chứng minh ΔAMB = ΔCMD, do đó:
+ AB = CD (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
+ Góc BAM = góc DCM (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

- Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC, do đó:
+ Góc BAM = góc DCM (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
+ Góc BAM và góc DCM là hai góc so le trong của hai đường thẳng AB và CD cắt nhau bởi đường thẳng AC.

Do đó, AB // CD.

c) Trên tia DC lấy điểm E sao cho C là trung điểm DE. Chứng minh: AC // BE

- Vì C là trung điểm của DE nên DC = CE.
- Từ phần b, ta đã chứng minh AB // CD.
- Do đó, AC là đường trung bình của tam giác BDE, vì vậy AC // BE.

Vậy ta đã chứng minh được các phần của bài toán.