Gọi số có hai chữ số cần tìm là \( \overline{ab} \), trong đó \( a \) và \( b \) là các chữ số của số đó.

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. Tổng các chữ số của số đó là 9:
\[ a + b = 9 \]

2. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại:
\[ 10a + b + 63 = 10b + a \]

Giải phương trình thứ hai:
\[ 10a + b + 63 = 10b + a \]
\[ 10a - a + b - 10b = -63 \]
\[ 9a - 9b = -63 \]
\[ a - b = -7 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[ a + b = 9 \]
\[ a - b = -7 \]

Cộng hai phương trình lại:
\[ (a + b) + (a - b) = 9 - 7 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]

Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( a + b = 9 \):
\[ 1 + b = 9 \]
\[ b = 8 \]

Vậy số cần tìm là \( \overline{ab} = 18 \).