Để rút gọn các biểu thức trong bài toán, ta thực hiện như sau:

a) \((xy)(x^2 + xy + y^2)\)

Nhân \(xy\) vào từng hạng tử trong ngoặc:
\[ (xy)(x^2) + (xy)(xy) + (xy)(y^2) = x^3y + x^2y^2 + xy^3 \]

b) \((x + y)(x^2 - xy + y^2)\)

Nhân \(x + y\) vào từng hạng tử trong ngoặc:
\[ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) = x^3 - x^2y + xy^2 + yx^2 - y^2x + y^3 \]
\[ = x^3 + yx^2 - x^2y - y^2x + xy^2 + y^3 \]
\[ = x^3 + yx^2 - x^2y - y^2x + xy^2 + y^3 \]

c) \((4x - 1)(6y + 1) - 3x(8y + \frac{4}{3})\)

Nhân \(4x - 1\) vào từng hạng tử trong ngoặc:
\[ (4x - 1)(6y + 1) = 4x \cdot 6y + 4x \cdot 1 - 1 \cdot 6y - 1 \cdot 1 = 24xy + 4x - 6y - 1 \]

Nhân \(3x\) vào từng hạng tử trong ngoặc:
\[ 3x(8y + \frac{4}{3}) = 3x \cdot 8y + 3x \cdot \frac{4}{3} = 24xy + 4x \]

Trừ hai biểu thức:
\[ 24xy + 4x - 6y - 1 - (24xy + 4x) = -6y - 1 \]

d) \((x + y)(xy) + \frac{xy - x^3y^2}{xy^2}\)

Nhân \(x + y\) vào \(xy\):
\[ (x + y)(xy) = x^2y + xy^2 \]

Rút gọn phân số:
\[ \frac{xy - x^3y^2}{xy^2} = \frac{xy(1 - x^2y)}{xy^2} = \frac{1 - x^2y}{y} \]

Kết hợp hai biểu thức:
\[ x^2y + xy^2 + \frac{1 - x^2y}{y} = x^2y + xy^2 + \frac{1}{y} - x^2 \]

Vậy các biểu thức đã được rút gọn như sau:
a) \( x^3y + x^2y^2 + xy^3 \)
b) \( x^3 + yx^2 - x^2y - y^2x + xy^2 + y^3 \)
c) \( -6y - 1 \)
d) \( x^2y + xy^2 + \frac{1}{y} - x^2 \)