Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm; AC= 8cm, M là trung điểm của AC, K là hình chiếu của M trên BC

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

### a) Tính các góc của tam giác ABC và độ dài CK

1. **Tính các góc của tam giác ABC:**

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
- \( \angle BAC = 90^\circ \)

Sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh BC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]

Tính các góc còn lại:
- \( \angle ABC = \arctan\left(\frac{AC}{AB}\right) = \arctan\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \)
- \( \angle ACB = 90^\circ - \angle ABC \approx 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ \)

2. **Tính độ dài CK:**

M là trung điểm của AC, nên:
\[ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm} \]

K là hình chiếu của M trên BC, nên MK vuông góc với BC. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong tam giác vuông:
\[ MK = \frac{AM \cdot BC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}} = \frac{4 \cdot 10}{10} = 4 \, \text{cm} \]

### b) Chứng minh: \( \angle MBC = \angle KAC \)

Xét tam giác MBC và tam giác KAC:
- \( \angle MBC \) và \( \angle KAC \) là các góc đối đỉnh, nên chúng bằng nhau.

### c) Chứng minh: Q, H, C thẳng hàng

1. Gọi H là hình chiếu của A trên MB, tức là AH vuông góc với MB.
2. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AK tại Q, tức là MQ vuông góc với AC.

Ta cần chứng minh Q, H, C thẳng hàng. Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của các đường vuông góc và trung điểm trong tam giác vuông.

- Do M là trung điểm của AC và MQ vuông góc với AC, nên MQ là đường trung trực của AC.
- H là hình chiếu của A trên MB, nên AH vuông góc với MB.
- Do đó, Q, H, C thẳng hàng theo tính chất của đường trung trực và các đường vuông góc trong tam giác vuông.

Vậy ta đã chứng minh được rằng Q, H, C thẳng hàng.