Để chứng minh rằng \( AMHN \) là hình chữ nhật và \( AMNE \) là hình bình hành với \( A \) là trung điểm của \( DE \), ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh \( AMHN \) là hình chữ nhật

1. **Xác định các góc vuông:**
- Vì \( AH \) là đường cao hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) trong tam giác vuông \( ABC \), \( AH \perp BC \).
- \( HM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) (có nghĩa là \( HM \perp AB \)).
- \( HN \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \) (có nghĩa là \( HN \perp AC \)).

2. **Chứng minh \( AM \perp AN \):**
- Trong tam giác vuông \( AHM \) tại \( A \), ta có \( AH \perp AB \) và do đó \( AM \) vuông góc với đường thẳng \( HM \).
- Tương tự trong tam giác vuông \( AHN \) tại \( A \), \( AH \perp AC \) nên \( AN \) vuông góc với đường thẳng \( HN \).

3. **Kết luận:**
- Vì \( AM \perp HM \) và \( AN \perp HN \) với cả hai góc \( AMH \) và \( ANH \) đều bằng 90 độ, nên tứ giác \( AMHN \) có bốn góc vuông. Vậy từ đó ta kết luận rằng \( AMHN \) là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh \( AMNE \) là hình bình hành và \( A \) là trung điểm của \( DE \)

1. **Đặt điểm \( D \) và \( E \):**
- Trên tia đối với tia \( MH \), lấy điểm \( D \) sao cho \( HM = MD \).
- Tương tự, trên tia đối với tia \( NH \), lấy điểm \( E \) sao cho \( NH = NE \).

2. **Chứng minh \( AMNE \) là hình bình hành:**
- **Cạnh đối:**
\( HM = MD \), vì \( D \) nằm trên đường thẳng nối \( HM \) theo chiều ngược lại.
\( NH = NE \), vì \( E \) nằm trên đường thẳng nối \( NH \) theo chiều ngược lại.
- **Điểm đối diện:**
Như đã chứng minh ở phần trước, ta có \( AM \parallel EN \) và \( AN \parallel DM \).

3. **Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( DE \):**
- Vì \( HM = MD \) và \( NH = NE \), nên ta có độ dài \( HD = HM + MD = 2HM\) và \( HE = NH + NE = 2NH\).
- Điều này cho thấy \( A \) là trung điểm của \( DE \).

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng \( AMNE \) là hình bình hành và \( A \) là trung điểm của \( DE \).