Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b, c, d, e, f và tính toán phần g.

**a) Chứng minh rằng:**
\[ \frac{AF \cdot AB}{AH \cdot AD} \]

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle AHB \) với đường thẳng \( DEF \) cắt các cạnh của tam giác tại \( D, E, F \):
\[ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 \]

Do đó:
\[ \frac{AF}{FB} = \frac{DC}{BD} \cdot \frac{EA}{CE} \]

Tương tự, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( \triangle AHC \) với đường thẳng \( DEF \):
\[ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 \]

Do đó:
\[ \frac{AF}{FB} = \frac{DC}{BD} \cdot \frac{EA}{CE} \]

**b) Chứng minh rằng:**
\[ \triangle AHB \text{ đồng dạng với } \triangle AFD \]

Sử dụng định lý góc chung và các tỉ số cạnh tương ứng.

**c) Chứng minh rằng:**
\[ \triangle AEF \text{ đồng dạng với } \triangle ABC \]

Sử dụng định lý góc chung và các tỉ số cạnh tương ứng.

**d) Chứng minh rằng:**
\[ \triangle AHEF \text{ đồng dạng với } \triangle AHCB \]

Sử dụng định lý góc chung và các tỉ số cạnh tương ứng.

**e) Chứng minh rằng:**
\[ BF \cdot BA + CE \cdot CA = BC^2 \]

Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác \( BFEC \).

**f) Chứng minh rằng:**
\[ HE \cdot HB = HF \cdot HC \]

Sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp.

**g) Biết \( BD = 2cm, DC = 3cm, S_{ABC} = 30cm^2 \). Tính \( BC, AD, HD \) và \( S_{HBD} \)?**

- Tính \( BC \):

Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \sin(\angle BAC) \]

- Tính \( AD \):

Sử dụng định lý đường trung bình và các tỉ số cạnh tương ứng.

- Tính \( HD \):

Sử dụng định lý đường trung bình và các tỉ số cạnh tương ứng.

- Tính \( S_{HBD} \):

Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[ S_{HBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot HD \cdot \sin(\angle BHD) \]

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán này.