Để viết các biểu thức sau thành đa thức, chúng ta sẽ thực hiện các phép nhân và rút gọn các biểu thức.

a) \((z - 1)(z + 1)(z^2 + 1)\)

Đầu tiên, ta nhân \((z - 1)(z + 1)\):
\[
(z - 1)(z + 1) = z^2 - 1
\]

Tiếp theo, ta nhân kết quả vừa tìm được với \(z^2 + 1\):
\[
(z^2 - 1)(z^2 + 1) = z^2(z^2 + 1) - 1(z^2 + 1) = z^4 + z^2 - z^2 - 1 = z^4 - 1
\]

Vậy, biểu thức a) viết thành đa thức là:
\[
z^4 - 1
\]

b) \((xy + 1)^2 - (xy - 1)^2\)

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Trong đó, \(a = xy + 1\) và \(b = xy - 1\):
\[
(xy + 1)^2 - (xy - 1)^2 = [(xy + 1) - (xy - 1)][(xy + 1) + (xy - 1)]
\]

Rút gọn các biểu thức trong ngoặc:
\[
[(xy + 1) - (xy - 1)] = xy + 1 - xy + 1 = 2
\]
\[
[(xy + 1) + (xy - 1)] = xy + 1 + xy - 1 = 2xy
\]

Vậy, biểu thức b) viết thành đa thức là:
\[
2 \cdot 2xy = 4xy
\]

c) \((a - 5)(a^2 + 5a + 25)\)

Sử dụng hằng đẳng thức nhân đa thức:
\[
(a - 5)(a^2 + 5a + 25) = a(a^2 + 5a + 25) - 5(a^2 + 5a + 25)
\]

Nhân từng hạng tử:
\[
a(a^2 + 5a + 25) = a^3 + 5a^2 + 25a
\]
\[
-5(a^2 + 5a + 25) = -5a^2 - 25a - 125
\]

Cộng các kết quả lại:
\[
a^3 + 5a^2 + 25a - 5a^2 - 25a - 125 = a^3 - 125
\]

Vậy, biểu thức c) viết thành đa thức là:
\[
a^3 - 125
\]

d) \((x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)\)

Sử dụng hằng đẳng thức nhân đa thức:
\[
(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x(x^2 - 2xy + 4y^2) + 2y(x^2 - 2xy + 4y^2)
\]

Nhân từng hạng tử:
\[
x(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 - 2x^2y + 4xy^2
\]
\[
2y(x^2 - 2xy + 4y^2) = 2yx^2 - 4y^2x + 8y^3
\]

Cộng các kết quả lại:
\[
x^3 - 2x^2y + 4xy^2 + 2x^2y - 4y^2x + 8y^3
\]

Rút gọn các hạng tử giống nhau:
\[
x^3 + 0x^2y + 0xy^2 - 4y^2x + 8y^3 = x^3 - 4xy^2 + 8y^3
\]

Vậy, biểu thức d) viết thành đa thức là:
\[
x^3 - 4xy^2 + 8y^3
\]