Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác trong tam giác.

1. **Tính cạnh AC:**

Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}
\]

Trong tam giác ABC, ta có:
\[
A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ
\]

Áp dụng định lý sin:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}
\]

Thay số vào:
\[
\frac{6}{\sin 80^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}
\]

Ta có:
\[
\sin 80^\circ \approx 0.9848 \quad \text{và} \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
\]

Do đó:
\[
\frac{6}{0.9848} = \frac{AC}{0.866}
\]

Giải phương trình trên để tìm AC:
\[
AC = \frac{6 \times 0.866}{0.9848} \approx 5.28 \, \text{cm}
\]

2. **Tính chiều cao CH:**

Chiều cao CH từ đỉnh C xuống cạnh AB có thể tính bằng công thức:
\[
CH = BC \times \sin C
\]

Thay số vào:
\[
CH = 6 \times \sin 40^\circ
\]

Ta có:
\[
\sin 40^\circ \approx 0.6428
\]

Do đó:
\[
CH = 6 \times 0.6428 \approx 3.86 \, \text{cm}
\]

3. **Tính diện tích tam giác ABC:**

Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times CH
\]

Thay số vào:
\[
S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3.86 \approx 11.58 \, \text{cm}^2
\]

Vậy, kết quả là:
- Chiều cao CH ≈ 3.86 cm
- Cạnh AC ≈ 5.28 cm
- Diện tích tam giác ABC ≈ 11.58 cm²